Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Toán 7 Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch - Chân trời sáng tạo

1. Khái niệm:

Cho a là một hằng số khác 0. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay xy = a thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Ví dụ:

+ Nếu x.y = 2 thì ta nói x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ là 2.

+ $v=\frac{300}{t}$ nên ta nói v tỉ lệ nghịch với t theo hệ số tỉ lệ là 300.

Chú ý: Khi y tỉ lệ nghịch với x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ:Nếu x.y = 7 ta có x tỉ lệ nghịch với y với hệ số tỉ lệ là 7 và y cũng tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ là 7.

Khi đó, ta nói x và y tỉ lệ nghịch với nhau với hệ số tỉ lệ là 7.

2. Tính chất của các đại lượng tỉ lệ nghịch:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):

x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ = … hay $\frac{x_1}{\frac{1}{y_1}}=\frac{x_2}{\frac{1}{y_2}}=\frac{x_3}{\frac{1}{y_3}}=\mathrm{...}$

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{y_1}$; $\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_3}{y_1}$ ; …

Ví dụ: Cho bảng sau. Trong đó x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

x	x1 = 4	x2 = 8	x3 = 1	x4 = 2
y	y1 = 4	y2 = 2	y3 = 16	y4 = 8

Khi đó ta có:

+) x₁.y₁ = x₂.y₂ = x₃.y₃ = x₄.y₄ = 16.

+) $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}=2$ ; $\frac{x_2}{x_3}=\frac{y_3}{y_2}=8$ ; …

Bài tập Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài 1. Cho biết hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau và khi a = −4 thì b = 5.

a) Tìm hệ số tỉ lệ;

b) Hãy biểu diễn a theo b;

c) Tính giá trị của a khi b = 10;

d) Tính giá trị của b khi a = −5.

Hướng dẫn giải:

a) Do a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: hệ số tỉ lệ là:

a.b = (−4).5 = −20.

Vậy hệ số tỉ lệ của hai đại lượng tỉ lệ nghịch a và b là −20.

b) Theo câu a ta có a.b = −20. Suy ra $a=\frac{-20}{b}$ .

Vậy biểu diễn của a theo b là: $a=\frac{-20}{b}$ .

c) Từ câu b, ta có: $a=\frac{-20}{b}$ .

Khi b = 10 thì $a=\frac{-20}{10}=-2$ .

Vậy a = 2 khi b = 10.

d) Theo câu a ta có: a.b = −20 suy ra $b=\frac{-20}{a}$ .

Khi a = −5 thì $b=\frac{-20}{a}=\frac{-20}{-5}=4$ .

Vậy khi a = −5 thì b = 4.

Bài 2.

a) Dựa vào bảng giá trị tương ứng của a và b trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.

a	5	6	3	−3
b	6	5	10	−10

b) Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau:

x	7	?	2
y	4	−7	?

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy: 5.6 = 6.5 = 3.10 = (−3).(−10) =30.

Nên suy ra hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có hệ số tỉ lệ là:

x.y =7.4 = 28

Suy ra x.y = 28.

Khi đó:

Nếu y = −7 thì $x=\frac{28}{y}=\frac{28}{-7}=-4$ ;

Nếu x = 2 thì $y=\frac{28}{x}=\frac{28}{2}=14$ .

Vậy ta có bảng giá trị bảng giá trị của x và y là:

x	7	−4	2
y	4	−7	14

Bài 3. Bác Hoàng muốn lát một sân gạch hình chữ nhật có diện tích là 28 m². Gọi e (m), f (m) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật này. Hãy chứng tỏ e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tính e khi f = 4 m.

Hướng dẫn giải:

Diện tích của sân gạch hình chữ nhật là: e.f = 28 (m²).

Ta thấy e.f = 28 luôn không đổi.

Vậy suy ra e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Suy ra khi f = 4 m thì $e=\frac{28}{f}=\frac{28}{4}=7$ (m)

Vậy khi hình chữ nhật có một cạnh f = 4 m thì cạnh còn lại của hình chữ nhật này là: e = 7 m.

Bài 4. Cho biết một đội công nhân (năng suất làm việc như nhau) dự kiến làm xong một công trình trong vòng 156 ngày. Hỏi nếu chuyển $\frac{1}{4}$ số công nhân sang công trình khác thì số công nhân còn lại sẽ làm xong công trình này trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải:

Số công nhân còn lại khi chuyển đi $\frac{1}{4}$ số công nhân ban đầu là $\frac{3}{4}$ số công nhân ban đầu.

Gọi a₁, a₂ (công nhân) lần lượt là số lượng công nhân có trong đội trước và sau đi chuyển đi (a₁, a₂ $\in$ ℕ*).

Gọi b₁, b₂ (ngày) lần lượt là số ngày hoàn thành công trình tương ứng trong hai trường hợp trên (b₁, b₂ $\in$ ℕ*).

Do đó số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (vì số lượng công việc để hoàn thành công việc là không đổi) nên ta có:

a₁b₁ = a₂b₂ suy ra $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_2}{b_1}$ .

Mặt khác ta có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{3}$ và b₁ =156 nên ta có:

$\frac{4}{3}=\frac{b_2}{156}$ suy ra $b_2=\frac{156.4}{3}=208$ (thỏa mãn)

Vậy số công nhân còn lại sẽ hoàn thành công trình trong 208 ngày.

B. Trắc nghiệm Đại lượng tỉ lệ nghịch (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Câu 1. Có 15 công nhân với năng suất như nhau đóng xong một chiếc tàu trong 40 ngày. Hỏi cần bao nhiêu công nhân để đóng xong một con tàu trong 30 ngày?

A. 20 công nhân;

B. 10 công nhân;

C. 25 công nhân;

D. 5 công nhân.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi x (công nhân) là số công nhân cần để đóng xong tàu trong 30 ngày (x $\in$ ℕ*).

Vì số công nhân và thời gian làm việc tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có: $\frac{x}{15}$ = $\frac{40}{30}$

Suy ra x = $\frac{40}{30}$. 15 = 20 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy cần 20 công nhân để đóng xong một con tàu trong 30 ngày.

Chọn đáp án A.

Câu 2. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 4. Khi đó cặp giá trị nào dưới đây là sai?

A. x = 1; y = 3;

B. x = 2; y = 2;

C. x = 4; y =1;

D. x = -1; y = - 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 4 nên xy = 4.

Ta thấy x . y = 1 . 3 = 3 ≠ 4 nên đáp án A sai.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3. Một đội sản xuất sử dụng x máy gặt để gặt xong ruộng lúa trong vòng y giờ. Hỏi hai đại lượng x và y có quan hệ như thế nào với nhau?

A. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số xy;

B. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$;

C. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}$;

D. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số xy.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì càng nhiều máy gặt thì thời gian làm càng nhanh nên số máy gặt và thời gian gặt xong là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Do đó x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ xy.

Vậy chọn đáp án D.

Câu 4. Cho biết hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau và khi a = 5; b = −3 thì hệ số tỉ lệ là:

A. $\frac{-3}{5}$;

B. - 15;

C. 15;

D. $\frac{-5}{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì a và b tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có:

k = a . b = 5 . (−3) = 15.

Vậy hệ số tỉ lệ là k = −15.

Chọn đáp án B.

Câu 5. Một nông trường có 3 máy gặt đã gặt xong một cánh đồng mất 4 giờ. Hỏi 4 máy gặt cắt xong cánh đồng đó mất bao nhiêu giờ?

A. 12 giờ;

B. 16 giờ;

C. 3 giờ;

D.$\frac{4}{3}$ giờ.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi x (giờ) là thời gian để 4 máy gặt cắt xong cánh đồng (x > 0).

Vì số máy gặt và thời gian gặt xong tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có: $\frac{3}{4}=\frac{x}{4}$

Suy ra x = $\frac{3}{4}$ . 4 = 3 (thoả mãn điều kiện).

Vậy thời gian để 4 máy gặt cắt xong cánh đồng đó mất 3 giờ.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 6. Cho x và y tỉ lệ nghịch theo hệ số a. Hệ thức nào dưới đây là sai?

A. x . y = a;

B. x = $\frac{y}{a}$;

C. y = $\frac{a}{x}$;

D. $\frac{x}{y}$ = a.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số a nên x . y = a.

Suy ra $x=\frac{a}{y}$; $x=\frac{a}{y}$

Do đó hệ thức $\frac{x}{y}$ = a sai.

Chọn đáp án D sai.

Câu 7: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, biết x = 6; y = −3. Tìm hệ số tỉ lệ a.

A. a = −2;

B. a = −18;

C. a = 2;

D. a = 18.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì x và y tỉ lệ nghịch nên a = x . y = 6 . (−3) = −18

Vậy hệ số tỉ lệ a = −18.

Chọn đáp án B.

Câu 8: Bạn Giang đi xe đạp với vân tốc 3km/h đến trường mất 10 phút. Hỏi nếu bạn Giang đi xe điện đến trường với vận tốc 5 km/h mất bao nhiêu phút?

A. 6 phút;

B. 15 phút;

C. 5 phút;

D. 12 phút.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi x (giờ) là thời gian bạn Giang đi bằng xe điện (x > 0).

Đổi 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ.

Vì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

$5.x=3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $x=\frac{1}{2}:5=\frac{1}{10}$

Đổi giờ $\frac{1}{10}$= 6 phút.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 9. Một tổ sản xuất tuyển x (công nhân) để hoàn thành 180 sản phẩm, biết mỗi công nhân phải làm y (sản phẩm). Hỏi x có quan hệ như thế nào với y?

A. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số $\frac{1}{180}$;

B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{1}{180}$ ;

C. x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số 180;

D. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 180.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Vì số công nhân càng nhiều thì thời gian làm càng ít nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Suy ra xy = 180.

Vậy chọn đáp án C.

Câu 10. Hệ thức nào dưới đây biểu thị cho đại lượng tỉ lệ nghịch?

A. $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=a$

B. $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{1}{a}$

C. x₁ . y₂ = x₂ . y₁;

D. x₁ . y₁ = x₂ . y₂ = a.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Nếu x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì xy = a.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

x₁ . y₁ = x₂ . y₂ = a.

Suy ra $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=a$

Vậy chọn đáp án D.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Đại lượng tỉ lệ thuận

Lý thuyết Ôn tập Chương 6

Lý thuyết Bài 1: Biểu thức số, biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 2: Đa thức một biến

Lý thuyết Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến