50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề 3)

Cho lăng trụ $A B C A' B' C'$ , trên cạnh AA';BB' lấy các điểm M, N sao cho $A A' = 3 A' M; B B' = 3 B' N . A A' = 3 A' M; B B' = 3 B' N$ Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối chóp C'A'B'NM , $V_{2}$ là thể tích khối đa diện ABC.MNC'. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{5}{7}$

Xem đáp án

Đáp án C.

$V_{A B C . M N K} = S_{A B C} . C K = \frac{2}{3} S_{A B C} . A' A$

$V_{C' M K} = \frac{1}{3} C' K . S = \frac{1}{9} C' C' S_{A B C} = \frac{1}{9} A' . A . S_{A B C}$
$\Rightarrow V_{2} = V_{A B C . M N K} + V_{C' . M N K} = \frac{2}{3} S_{A B C} . A A' + \frac{1}{9} A' A . S_{A B C} = \frac{7}{9} A' A . S_{A B C}$

$V_{M N K A' B' C'} = S_{M N K} . C' K = \frac{1}{3} S_{A B C} . A' A$

$\Rightarrow V_{1} = V_{M N K A' B' C'} - V_{C' M N K} = \frac{1}{3} S_{A B C} . A^{'} A - \frac{1}{9} A' A S_{A B C} = \frac{2}{9} A' A S_{A B C}$

Vậy : $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{2}{9} A' A S_{A B C}}{\frac{7}{9} A' A S_{A B C}} = \frac{2}{7}$ .

Câu 2:

Hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Có $y' = 4 x^{3} - 8 x$ cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{cases}$

Vậy có 3 điểm cực trị.

Câu 3:

Hàm số $y = x^{3} + 3$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Có $y' = 3 x^{2} \Leftrightarrow y' \geq 0; \forall x$ vậy hàm số đã cho không có điểm cực trị.

Câu 4:

Bảng biến thiên sau là của hàm số nào ?

A. $y = \frac{x + 5}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$

C. $y = \frac{4 x - 6}{x - 2}$

D. $y = \frac{3 - x}{2 - x}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Dựa vào bảng biến thiên , hàm số không xác định tại x=2 do đó loại B.

Lại có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 1$ do đó loại C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số luôn nghịch biến, do đó chọn A

Câu 5:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 4}{x + 2}$ ?

A. $y = 2$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $y = 3$

Xem đáp án

Đáp án D.

Cần tìm tiệm cận ngang, do đó loại B, C.

Có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 4}{x + 2} = 3$ và $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 x_4}{x + 2} = 3$ vậy chọn D.

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ {- 1}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau :

Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

B. Giá trị lớn nhất của hàm sốy=f(x) trên khoảng $(- 1; + \infty)$ bằng 3.

C. Hàm số đạt cực đại tại x=1

D. Đồ thị hàm số y=f(x) có 3 đường tiệm cận.

Xem đáp án

Đáp án A

Vì hàm số không xác định tại x=-1 nên hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1); (- 1; 1)$ .

Câu 7:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - m}$ có hai đường tiệm cận đứng.

A. $m \geq 0$

B. $m > 0$

C. $m < 0$

D. $m ≢ 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Để hàm số có có hai tiệm cận đứng thì $x^{2} - m = 0 \Leftrightarrow x^{2} = m$ có hai nghiệm phân biệt hay $m > 0$

Câu 8:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 3}$ là:

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x + 3}{x - 3} = + \infty$ Hàm số có tiệm cận đứng x=3;

Ta có : $\lim_{x \to + \infty} \frac{x + 3}{x - 3} = + \infty \Rightarrow$ Hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$ .

Vậy hàm số có 2 tiệm cận.

Câu 9:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V. Tính thể tích của khối chóp A'.ABC theo V.

A. $\frac{V}{3}$

B. $\frac{V}{2}$

C. $\frac{V}{4}$

D. $\frac{2}{3} V$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$V_{A B C . A' B' C'} = d (A; (A' B' C')) . S_{∆ A' B' C'} = V$

$V_{A . A' B' C'} = \frac{1}{3} . d (A; (A' B' C')) . S_{∆ A' B' C'} = \frac{V}{3}$

Câu 10:

Đường cong hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} - 3 x + 1$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

D. $y = x^{3} - 3 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta loại A, C vì đồ thị trên có hệ số $a > 0$

Đồ thị đi qua điểm M(0;1) nên chọn phương án B.

Câu 11:

Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 35$ trên đoạn [-4;4].

A. $M = 40; m = - 8$

B. $M = 15; m = - 41$

C. $M = 40; m = 8$

D. $M = 40; m = - 41$

Xem đáp án

Đáp án D

$y' = 3 x^{2} - 6 x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ x = 3 \end{cases}$

$y (- 4) = - 41, y (4) = 15, y (- 1) = 40, y (3) = 8$

Câu 12:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị hình dưới :

Chọn khẳng định đúng.

A. a<0 ; b<0 ; c>0 ; d>0

B. a<0 ; b>0 ; c>0 ; d>0

C. a<0 ; b>0 ; c<0 ; d<0

D. a>0 ; b>0 ; c>0 ; d>0

Xem đáp án

Đáp án B

Nhánh cuối của đồ thị đi xuông $a < 0$

Tích hai điểm cực trị của hàm số là số âm $\Rightarrow a, c$ trái dấu $c > 0$

Tổng hai điểm cực trị của hàm số là số dương $\Rightarrow a, b$ trái dấu $\Rightarrow b > 0$

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình f(x)-2=0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đương thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số tại khoảng giữa hai điểm cực trị nên có 3 giao điểm với đồ thị.

Câu 14:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. $a^{3} \sqrt{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C

Diện tích đáy: $S_{A B C D} = a^{2}$

Góc giữa SC và mặt đáy bằng góc SCA bằng $30^{0}$

$S A = A C . \tan S C A = a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = a \frac{\sqrt{6}}{3}$

Thể tích : $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . a^{2} . a \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: $x^{4} + 2 x^{2} + 1 = m$ có hai nghiệm phân biệt.

A. $m \geq 1$

B. $m > 1$

C. $m < 1$

D. $m < 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ có dạng

Với điểm cực tiểu là (0;1) nên để phương trình $x^{4} + 2 x^{2} + 1 = m$ có hai nghiệm thì m>1 .

Câu 16:

Hàm số $y = x^{4} + 1$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; 1)$

B. $(- 1; 1)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = 4 x^{3}$ ; y’>0 $\Leftrightarrow x \in (0; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Câu 17:

Cho đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có điểm cực đại là A(-2;2), điểm cực tiểu là B(0;-2). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = m$ có 3 nghiệm phân biệt.

A. $m > 2$

B. $m < - 2$

C. $- 2 < m < 2$

D. $\{\begin{cases} m = 2 \\ m = - 2 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình có ba nghiệm phân biệt nếu $y_{c t} < m < y_{c d} \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Câu 18:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ đạt cực tiểu tại điểm nào?

A. x=-2

B. x=2

C. x=0

D. x=3

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = 3 x^{2} - 6 x$

$y'' = 6 x - 6$

$y' = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$

$y'' (0) = - 6$

$y'' (2) = 6$

Vậy x =2 là điểm cực tiểu

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ như hình dưới:

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

B. Hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x=0

C. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=0

D. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Nhìn vào hình vẽ ta thấy đồ thị nằm hoàn toàn trên trục Ox nên y’>0 với mọi x do đó hàm số y=f(x) đồng biến trên R

Câu 20:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R. Đồ thị hàm số $y = f' (x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm a, b, c ( $a < b < c$ ) như hình dưới:

Biết f(b) < 0 Đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt.

A. 4

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Trên khoảng ( $a; b$ ) và ( $c; + \infty$ ) hàm số đồng biến vì y'>0 đồ thị nằm hoàn toàn trên trục Ox

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( $- \infty; a$ ) và (b;c) vì y'<0

Suy ra x=b là điểm cực đại mà y(b) <0 do đó trục hoành cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt. Với d<0 ta có

Câu 21:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $a < 0, b > 0, c > 0$

B. $a > 0, b > 0, c > 0$

C. $a > 0, b < 0, c < 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số dễ dàng nhận biết a > 0,c > 0. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên a,b trái dấu. Từ đó ta có $a > 0, b < 0, c > 0$ .

Câu 22:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi B là diện tích một đáy của lăng trụ, V là thể tích của lăng trụ. Tính chiều cao h của lăng trụ.

A. $h = \frac{3 V}{B}$

B. $h = \frac{B}{V}$

C. h= $h = \frac{V}{B}$

D. $h = \frac{V}{3 . B}$

Xem đáp án

Câu 23:

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2}$ . Thể tích V của khối chóp S.ABCD là :

A. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{9} a^{3}$

B. $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$

C. $2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . A B . A D . S A = \frac{1}{3} a . 2 a . a \sqrt{2} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$ .

Câu 24:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại.

A. m=1

B. m=-1

C. m=5

B. m=-7

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\{\begin{cases} y' = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 \\ y'' = 2 x - 2 m \end{cases}$ .

Hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 3$ đạt cực đại tại x=3 khi và chỉ khi

$\{\begin{array}{l} y' (3) = 0 \\ y'' (3) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m^{2} - 6 m + 5 = 0 \\ 6 - 2 m < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \{\begin{cases} m = 1 \\ m = 5 \end{cases} \\ m > 3 \end{cases}$ .

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{\sqrt{3}}{6} a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Trong (SAB) kẻ $S H ⊥ A B$ . Ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x - 2}{3 - x}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Đồ thị của hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x=-1 và một tiệm cận ngang y=3.

B. Đồ thị của hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x=3 và một tiệm cận ngang y=-1.

C. Đồ thị của hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng x=-1

D. Đồ thị của hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là y=3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{- x + 3} = - 1$ suy ra TCN: y=-1

$\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 2}{- x + 3} = - \infty, \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 2}{- x + 3} = + \infty$ suy ra TCĐ: x=3

Câu 27:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = (m - 2) x^{3} + (m - 2) x^{2} - x + 1$ nghịch biến trên R.

A. $- 1 < m \leq 2$

B. $\{\begin{cases} m \leq - 1 \\ m \geq 2 \end{cases}$

C. $- 1 \leq m \leq 2$

D. $- 1 \leq m < 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Với $y = (m - 2) x^{3} + (m - 2) x^{2} - x + 1$ ta có $y' = 3 (m - 2) x^{2} + 2 (m - 2) x - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên R

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m - 2 < 0 \\ ∆' \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ m^{2} - m - 2 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 \\ - 1 \leq m \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

Câu 28:

Đường cong hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

C. $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số hướng lên trên nên a > 0 ; hàm số có ba cực trị nên $a . b < 0 \Rightarrow b < 0$ và hàm số nằm phía dưới trục Ox nên hệ số c < 0. Vậy hàm số cần tìm là : $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Câu 29:

Hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. (-1;3)

B. (-1;2)

C. (1;4)

D. (0;3)

Xem đáp án

Đáp án D

Với $y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 1$ ta có $y' = x^{2} - 3 x$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = 3 \end{cases}$

Xét dấu:

Vậy hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 1$ nghich biến trên (0;3)

Câu 30:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và có $f' (x) = {(x - 1)}^{2017} (x^{2} - 1) {(2 x + 3)}^{3}$ . Hàm số y=f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2017} (x^{2} - 1) {(2 x + 3)}^{3} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = - \frac{3}{2} \end{array}$

Xét dấu:

Vậy hàm số có 2 cực trị

Câu 31:

Khoảng đồng biến của hàm số $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$ là :

A. (2;4)

B. (0;2)

C. (1;3)

D. (0;4)

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$

Tập xác định D = [0;4]

$y' = \frac{4 - 2 x}{\sqrt{4 x - x^{2}}}$

$y' = 0 \Rightarrow x = 2$

Vậy Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Câu 32:

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn $S A = 2 S M; S B = 2 S N; S C = \frac{1}{2} S P$ Tính thể tích của khối chóp S.MNP theo V.

A. $\frac{V}{3}$

B. $\frac{V}{4}$

C. $\frac{V}{2}$

D. $\frac{V}{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$\frac{V_{S . A B C}}{V_{S M N P}} = \frac{S A}{S M} . \frac{S B}{S N} . \frac{S C}{S P} = \frac{2 S M}{S M} . \frac{2 S N}{S N} . \frac{\frac{1}{2} S P}{S P} = 2$

$\Rightarrow V_{S M N P} = \frac{1}{2} V_{S A B C} = \frac{V}{2}$

Câu 33:

23/11/2024

Tìm giá trị cực đại của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ .

A. 4

B. -1

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải

$y = x^{3} - 3 x + 2$

$y' = 3 x^{2} - 3$

$y' = 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 1 \Rightarrow y = 4 \end{cases}$

BBT

Vậy giá trị cực đại bằng 4

*Phương pháp giải:

1.Tính đạo hàm y'

2.Tìm nghiệm của đạo hàm

3.Lập bảng biến thiên

4.Tìm x cực đại thay vào y tìm y cực đại

*Lý thuyết:

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $- \infty$ ; b là $+ \infty$ ) và điểm x₀ $\in$ (a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x $\in$ (x₀ – h; x₀ + h) và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 34:

Đồ thị (C) của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ và đường thẳng y = mx + m cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(-1;0),B,C sao cho $∆ O B C$ có diện tích bằng 8 (O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào đưới đây đúng ?

A. m là số nguyên tố.

B. m là số chẵn

C. m là số vô tỉ

D. m là số chia hết cho 3

Xem đáp án

Đáp án B

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = m x + m$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3 x^{2} - m x + 4 - m = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} - 4 x + 4 - m) = 0$

Gọi $B (x_{1}; m x_{1} + m)$ ; $C (x_{2}; m x_{2} + m)$

$B C = \sqrt{(x}$ ₂-x₁)2+(mx₂-mx₁)2=m2+1.(x₂+x₁)2-4x1x2=m2+1.16-4(4-m)=2m2+1.m

Mà $d (O; B C) = d (O; d)$

d là đường thẳng $m x - y + m$ . Suy ra d(O;d)= $\frac{|m|}{\sqrt{m^{2} + 1}}$

Ta có

$S_{O B C} = \frac{1}{2} . d (O; B C) . B C$

Theo giả thiết, ta được

$|m| \sqrt{m} = 8 \Rightarrow m = 4$

Câu 35:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( $- \infty; + \infty$ )

A. $y = \frac{x - 2}{x - 1}$

B. $y = \frac{x + 2}{x + 4}$

C. $y = - 2 x^{3} + x + 1$

D. $y = 2 x^{3} + x + 1$

Xem đáp án

+) Xét hàm số: $y = \frac{x - 2}{x - 1}$

Tập xác định: $D = ℝ \ \{1\}$

Ta có: $y' = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

Suy ra hàm số đồng biến $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Do đó A sai.

+) Xét hàm số: $y = \frac{x + 2}{x + 4}$

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 4\}$

Ta có: $y' = \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Suy ra hàm số đồng biến $(- \infty; - 4)$ và $(- 4; + \infty)$ .

Do đó B sai.

+) Xét hàm số y = - 2x³ + x + 1

Tập xác định: $D = ℝ$

y’ = -6x² + 1

Suy ra hàm số không đồng biến trên toàn bộ $ℝ$ .

Do đó C sai.

+) Xét hàm số y = 2x³ + x + 1

Tập xác định: $D = ℝ$

y’ = 6x² + 1 > 0 $\forall x \in ℝ$

Suy ra hàm số đồng biến trên toàn bộ $ℝ$ .

Chọn D.

Câu 36:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ và đồ thị hàm số $y = x^{2} - x - 1$ là:

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Câu 37:

Cho hàm số $g (x) = x^{2} + 1$ và hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ . Tìm m để phương trình $f (g (x)) - m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

A. $- 3 < m < 1$

B. $- 3 < m \leq 1$

C. $- 3 \leq m \leq - 1$

D. $m > - 1$

Xem đáp án

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D), S B = a \sqrt{3}$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Câu 39:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{4} - x^{2} + 6$ , biết tiếp tuyến có hệ số góc k=6

A. y = 6x + 6

B. y = -6x + 1

C. y = -6x + 10

D. y = 6x + 10

Xem đáp án

Câu 40:

Hàm số $y = |x|$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Câu 41:

Cho hình chóp S. ABC , đáy tam giác ABC có diện tích bằng $12 c m^{3}$ . Cạnh bên SA= 2 cm và $S A ⊥ (A B C)$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $24 c m^{3}$

B. $6 c m^{3}$

C. $12 c m^{3}$

D. $8 c m^{3}$

Xem đáp án

Câu 42:

Biết rằng đồ thị hàm số: $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Tính giá trị của biểu thức : $P = m^{2} + 2 m + 1$ .

A. P=1

B. P=5

C. P=0

D. P=2

Xem đáp án

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên dưới đây:

Chọn khẳng định sai.

A. Hàm số đạt cực đại tại x=0

B. Hàm số có 2 điểm cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3

D. Hàm số có giá trị cực tiểu y=-3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 44:

Hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;3]tại 2 điểm $x_{1}; x_{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = x_{1} + x_{2} + x_{1} . x_{2}$

A. $M = \frac{11}{10}$

B. $M = \frac{9}{10}$

C. $M = 1$

D. $M = \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Câu 45:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $S A ⊥ (A B C)$ và $S A = a \sqrt{6}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $a^{3} \sqrt{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Do tam giác ABC đều cạnh a nên có $S_{∆ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3} S A . S_{∆ A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{6} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

Câu 46:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=3a,AC=4a cạnh bên AA'=2a. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $12 a^{3}$

B. $4 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $6 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 47:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ . Giá trị $f'' (1)$ bằng:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Câu 48:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại A, AB=4a,

AC=SA=3a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $6 a^{3}$

B. $8 a^{3}$

C. $2 a^{3}$

D. $9 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 49: