50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải (Đề 17)

Hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. $(1; + \infty)$

B. $(0; 1)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(\frac{1}{3}; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Có $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + 1; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{matrix}$

Lập bảng xét dấu của y' dễ thấy rằng hàm số đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1} .$ Xét các mênh đề sau

1.Hàm số đã cho đồng biến trên $(- \infty; 1) \cup (1; + \infty) .$

2.Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ \ \{1\} .$

3.Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.

4.Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1) v à (- 1; + \infty) .$

Số mệnh đề đúng là

A.3

B.2

C.1

D.4

Xem đáp án

Đáp án C

Có $y^{'} = \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ . Hàm số đồng biến trên tứng khoảng ( ta chỉ xét khoảng liên tục, không bị ngắt khoảng).

Câu 3:

Giá trị của m để hàm số $y = \frac{m x + 4}{x + m}$ nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ là

A. $- 2 < m < 2.$

B. $- 2 < m \leq - 1.$

C. $- 2 \leq m \leq 2.$

D. $- 2 \leq m \leq 1.$

Xem đáp án

Đáp án B

Có $y^{'} = \frac{m^{2} - 4}{{(x + m)}^{2}} .$ Hàm số xác định $\Leftrightarrow x \neq - m$ .

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Hàm so xác đinh trên (- \infty; 1) \\ y^{'} < 0, \forall x \in (- \ \infty; 1) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - m \notin (- \infty; 1) \\ m^{2} - 4 < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \in (- 2; 2) \end{matrix} \Leftrightarrow m \in (- 2; - 1] .$

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- 1; 0) v à (1; + \infty) .$

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1; 0) v à (1; + \infty) .$

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(0; 3) v à (0; + \infty) .$

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1) v à (0; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Nhìn vào bảng biến thiên thì đó là các khoảng mà giá trị hàm số đi lên

Câu 5:

Biết M(1;-6) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} + b x^{2} + c x + 1.$ Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đó.

A. $N (- 2; 11) .$

B. $N (2; 21) .$

C. $N (- 2; 21) .$

D. $N (2; 6) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $y^{'} = 6 x^{2} + 2 b x + c$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $M (1; - 6) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} y^{'} (1) = 0 \\ y (1) = - 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 b + c = - 6 \\ b + c = - 9 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 3 \\ c = - 12 \end{matrix}$ .

Khi đó $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix}$ . Lập bảng xét dấu thì hàm sô đạt cực đại tại x=-2. Điểm cực đại là $(- 2; 21)$

Câu 6:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y=f(x).

A. y=-2

B. x=0

C. M(0;-2)

D. N(2;2)

Xem đáp án

Đáp án C

Nhìn vào đồ thị thì điểm cực tiểu là điểm M(0;-2)

Câu 7:

Hàm số $y = \frac{- 2 x + 1}{x - 3}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.1

B.0

C.3

D.2

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm phân thức bậc nhất thì không có cực trị

Câu 8:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có cực trị

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$

B. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} + 2$

D. $y = - x^{4} + 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm C có $y^{'} = 3 x^{2} \geq 0$ . Không có điểm nào làm đổi dấu y'.

Câu 9:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên M và có đạo hàm $f' (x) = (x + 2) {(x - 1)}^{2} .$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên $(- 2; + \infty) .$

B. Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=-2

C. Hàm số đạt y=f(x) cực đại tiểu x=1

D. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên (-2;1)

Xem đáp án

Đáp án A

Ta lập bảng xét dấu của y'

Từ bảng xét dấu trên thì hàm số đồng biến trên $(- 2; + \infty) .$

Câu 10:

Đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x$ có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ?

A. $E (1; - 22) .$

B. $H (1; - 10) .$

C. $K (0; 6) .$

D. $G (3; 54) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Có $y^{'} = 6 x^{2} - 12 x - 18; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \end{matrix}$ . Khi đó 2 điểm cực trị của hàm số là $A (- 1; 10); B (3; - 54)$ .Phương trình đường thẳng AB có dạng $y = a x + b;$ đi qua A và B

$\Rightarrow a = - 16; b = - 6$ . Vậy $A B : y = - 16 x - 6$ . Đường thẳng này đi $E (1; - 22)$ .

Chú ý: Cách khác tìm phương trình AB, ta lấy đa thức $2 x^{3} - 6 x^{2} - 18 x$ chia cho y' được dư là $- 16 x - 6$ thì phương trình $A B : y = - 16 x - 6$ .

Câu 11:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình dưới đây. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2;3] đạt được tại điểm nào sau đây?

A. x= -3 và x=3

B. x= -2

C. x= 3

D. x=0

Xem đáp án

Đáp án C

Nhìn vào đô thị suy ra trên $[- 2; 3]$ thì hàm số đạt trí lớn nhất bằng 4 khi x=3.

Câu 12:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị cùa một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở bốn phương án A;B;C;D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 3$

C. $y = x^{4} + 2 x^{2}$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đi từ trên xuống nên a>0 vậy loại đáp án B. Hàm số đạt cực trị tại $x = - 1; 0; 1$ . Đây cũng sẽ lf nghiệm của phương trình $y^{'} = 0 \Rightarrow$ Chỉ có A,D thỏa mãn, tuy nhiên đồ thị đi qua điểm (0;0) nên chỉ có đồ thi D là thỏa mãn.

Câu 13:

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=1

A. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

B. $y = \frac{x + 1}{x + 2}$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 3$

D. $y = x^{4} + 3 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 14:

Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số $y = \frac{2 m x - 3}{x + m}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng y=2

A. m=2

B. m=-2

C. m=1

D.Không có giá trị

Xem đáp án

Đáp án C

Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2 \Rightarrow 2 m = 2 \Leftrightarrow m = 1$ . Khi đó $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ .

Câu 15:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biển thiên sau

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1 tiệm cận ngang y=-1

B. . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=-1 tiệm cận ngang y=1

C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận có phương trình x=1

D. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận có phương trình y=-1

Xem đáp án

Đáp án A

Nhìn vào bảng biến thiên

$\lim_{x \to \pm \infty} y = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to \pm - 1} y = \mp \infty \Rightarrow x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Câu 16:

Số giao điểm của đường cong $y = x^{3} - 2 x^{3} + 2 x + 1$ và đường thẳng y=1-x bằng

A.3

B.2

C.1

D.0

Xem đáp án

Đáp án C

Xét phương trình

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1 = 1 - x \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bậy giao điểm của 2 đường cao là (0;1).

Câu 17:

Cho các số thực x;y thỏa mãn $x + y + 1 = 2 (\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3}) .$ Giá trị lớn nhất của x+y

A.7

B.1

C.2

D.3

Xem đáp án

Đáp án A

Sử dụng BĐT buhinhacopski ta có

${(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3})}^{2} \leq (1 + 1) (x - 2 + y + 3) = 2 (x + y) + 2$ .

Tức là ta có ${(x + y + 1)}^{2} \leq 4 (2 (x + y) + 2)$ . Đặt $t = x + y$ . Chú ý rằng $t \geq - 1$ .

Ta có

${(t + 1)}^{2} \leq 8 t + 8 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t - 7 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq t \leq 7.$

Vậy $\max t = 7$ xảy ra khi $\{\begin{matrix} x - 2 = y + 3 \\ x + y = 7 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 6 \\ y = 1 \end{matrix} .$

Câu 18:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C) Đồ thị (C) đi qua điểm nào?

A. $M (- 5; 2)$

B. $M (0; - 1)$

C. $M (- 4; \frac{7}{2})$

D. $M (- 3; 4)$

Xem đáp án

Đáp án B

Điểm ý B thỏa mãn biểu thức của hám số.

Câu 19:

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6;7}. Hỏi từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đối một khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1

A. 65

B.2280

C.2520

D.2802

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi số đó là $\bar{a b c d e} .$

TH1: a=1

b:7 cách; c:6 cách; d:5cách; e:4cách -> Có $7.6.5.4 = 840$ số.

TH2: b=1

a:6 cách; c:6cách; d:5 cách; e:4 cách -> Có 6.6.5.4=720 số.

TH3: c=1

a:6 cách;b:6 cách; d:5 cách; e:4 cách -> Có 6.6.5.4=720 số.

Vậy có $840 + 720 + 720 = 2280$ số.

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $x^{3} - 12 x + m - 2 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

A. $- 16 < m < 16.$

B. $- 18 < m < 14.$

C. $- 14 < m < 18.$

D. $- 4 < m < 4.$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\Leftrightarrow - m = x^{3} - 12 x - 2$ . Điều kiện trở thành đường y= m cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 12 x - 2$ tại 3 điểm phân biệt.

Lập bảng biến thiên của $y = x^{3} - 12 x - 2$ .

Nhìn vào bảng biến thiên, điều kiện của m là $- m \in (14; - 18) \Leftrightarrow m \in (- 14; 18) .$

Câu 21:

GọiA, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x + 1}$ với các trụcOx, Oy .Diện tích tam giác bằng

A. $\frac{9}{2}$

B.2

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{9}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

$x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow B (0; - 3)$

$y = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow A (\frac{3}{2}; 0)$

$S_{O A B} = \frac{1}{2} . O A . O B = \frac{1}{2} .3. \frac{3}{2} = \frac{9}{4} .$

Câu 22:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ có đồ thị

như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > 0, d > 0; b < 0, c < 0.$

B. $a < 0, b < 0, c < 0; d > 0$

C. $a > 0, c > 0, d > 0; b < 0.$

D. $a > 0, b > 0, d > 0; c < 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số đi từ dưới lên $\Rightarrow a < 0$ .

Đồ thị có 2 điểm cực trị đạt được tại hoành độ trái dấu và tổng nhỏ hơn 0 nên ta có $\frac{c}{a} < 0 \Rightarrow c < 0$

Và $- \frac{b}{a} 〈0 \Rightarrow b〉 0$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm dương $\Rightarrow d > 0$ .

Câu 23:

Một cống ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê.Biết rằng nếu cho thuê căn hộ với giá $2.000.000 đ$ một tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê và cứ tăng giá thêm cho mỗi căn hộ $100.000 đ$ một tháng thì sẽ có hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty sẽ cho thuê căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

A. $2.225.000 đ .$

B. $2.100.000 đ .$

C. $2.200.000 đ .$

D. $2.250.000 đ$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi giá căn hộ là x(đồng) thì giá nhà tăng là x-2000000 từ đó số căn hộ được thuê là $50 - 2 \frac{x - 2000000}{100000}$ Tư đó số tiền doanh thu là

$S = x (50 - 2 \frac{x - 2000000}{100000}) = \frac{(- 2 x^{2} + 9000000 x)}{100000} = - \frac{2 {(x - 2250000)}^{2}}{100000} + 101250000$

Vậy số tiên đạt giá trị lớn nhất khi $x = 2250000.$

Câu 24:

Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$

B. $y = \frac{x - 1}{2 x + 2}$

C. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

D. $y = \frac{x + 3}{2 + x}$

Xem đáp án

Đáp án C

.Đáp án C, vì có 2 tiệm cận là $y = 1; x = 2$

Câu 25:

Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm.

A. $y = \frac{- x + 2}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x - 8}{5 x - 4}$

C. $y = \frac{2 x^{2} + 3}{95 x - x^{2} + 1}$

D. $y = \frac{- 21 x - 69}{90 x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta cân giải phương trình y=0. Chỉ có ý D là có nghiệm $x = - \frac{69}{21}$ là giá trị âm.

Câu 26:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2 m + 1 (C_{m}) .$ Tìm m để $(C_{m})$ cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. $m = - \frac{4}{9}$

B. $m = 4; m = - \frac{4}{9}$

C. $m = 4$

D. $m = \pm 4$

Xem đáp án

Đáp án B

$y = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 m + 1 \end{matrix} .$ có 4 nghiệm phân biệt khi

$2 m + 1 > 0; 2 m + 1 \neq 1 \Leftrightarrow m > - 1; m \neq 0$ .

Khi đó 4 nghiệm là $- \sqrt{2 m + 1}; - 1; 1; \sqrt{2 m + 1}$

4 nghiệm lập thành cấp số cộng có trường hợp sau sắp xếp theo thứ tự sau

TH1: $- 1; - \sqrt{2 m + 1}; \sqrt{2 m + 1}; 1 \Rightarrow$ khoảng cách giữa chúng là bằng nhau $\Leftrightarrow 1 - \sqrt{2 m + 1} = 2 \sqrt{2 m + 1} \Leftrightarrow 3 \sqrt{2 m + 1} = 1 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{9}$ .

TH2: $- \sqrt{2 m + 1}; - 1; 1; \sqrt{2 m + 1} \Rightarrow$ khoảng cách giữa chung là bằng nhau

$\Leftrightarrow \sqrt{2 m + 1} - 1 = 2 \Leftrightarrow m = 4$

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\sqrt{3}}$ là

A. $\frac{1}{\sqrt{3}} (2 x - 3) {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\sqrt{3} - 1}$

B. $\sqrt{3} (2 x - 3) {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\sqrt{3} + 1}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}} (2 x - 3) {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

D. $\sqrt{3} (2 x - 3) {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\sqrt{3} - 1}$

Xem đáp án

Đáp án D

$y^{'} = \sqrt{3} (3 x - 2) {(x^{2} - 3 x + 2)}^{\sqrt{3} - 1}$

Câu 28:

Cho hai số dương $a, b (a \neq 1) .$ Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\log_{a} a^{α} = α$

B. $a^{\log_{a} b} = b$

C. $\log_{a} a = 2 a$

D. $\log_{a} 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{a} a = 1$

Câu 29:

Cho a là một số dương, biểu thức $a^{\frac{2}{3}} \sqrt[]{a} .$ Viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

A. $a^{\frac{7}{6}}$

B. $a^{\frac{7}{3}}$

C. $a^{\frac{5}{3}}$

D. $a^{\frac{1}{3}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $a^{\frac{2}{3}} . \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}$ .

Câu 30:

Tìm tâp xác định D của hàm số $y = {(3 - x)}^{\frac{1}{4}} ?$

A. $(- \infty; 3)$

B. $(- \infty; - 3)$

C. $(3; + \infty)$

D. R

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện là $3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3$

Câu 31:

Cho $c = \log_{15} 3.$ Hãy tính $\log_{25} 15$ theo c

A. $\frac{1}{2 - c}$

B. $\frac{1}{2 (c - 1)}$

C. $\frac{1}{2 (1 - c)}$

D. $\frac{1}{2 (1 + c)}$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $\log_{15} 3 = c \Rightarrow \frac{\log_{5} 3}{1 + \log_{5} 3} = c \Rightarrow \log_{5} 3 = \frac{- c}{c - 1} .$

Khi đó thì ta có $\log_{25} 15 = \frac{1 + \log_{5} 3}{2} = \frac{1 + \frac{- c}{c - 1}}{2} = - \frac{1}{2 (c - 1)}$ .

Câu 32:

Giá trị của biểu thức $A = 8^{\log_{2} 3} + 9^{\frac{1}{\log_{2} 3}}$ bằng

A.31

B.5

C.11

D.17

Xem đáp án

Đáp án A

Có thể dễ dàng dùng máy tính, nếu biến đổita biến đổi như sau

$A = {(2^{\log_{2} 3})}^{3} + 9^{\log_{3} 2} = {(2^{\log_{2} 3})}^{3} + {(3^{\log_{3} 2})}^{2} = 31.$

Câu 33:

Số đỉnh của một hình bát diện đều là

A.6

B.8

C.10

D.12

Xem đáp án

Đáp án A

Hình bát diện đều là có 6 đỉnh

Câu 34:

Tứ diện OABC, có OA=a, OB=b, OC=c và đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện bằng

A. $\frac{a b c}{3}$

B. abc

C. $\frac{a b c}{6}$

D. $\frac{a b c}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

$V_{O . A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C = \frac{1}{6} a b c .$

Câu 35:

Một khối chóp có thể tích bằng $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ và chiều cao bằng 2a. Diện tích mặt đáy của khối chóp là

A. $B = \frac{\sqrt{6} a^{2}}{2}$

B. $B = \frac{\sqrt{6} a}{2}$

C. $B = \frac{\sqrt{6} a}{4}$

D. $B = \sqrt{6} a$

Xem đáp án

Đáp án A

$S_{đ á y} = \frac{3 V}{h} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{2}$

Câu 36:

Tính thể tích của khối lập phương ABCD A'B'C'D' biết AD'=2a

A. $V = a^{3}$

B. $V = 8 a^{3}$

C. $V = 2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$A A^{' 2} + A D^{2} = A D^{' 2} = 4 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = A D = \sqrt{2} a$ .

Vậy cạnh của hình lập phương trình có cạnh độ dài $\sqrt{2} a$ . Vậy $V = {(\sqrt{2} a)}^{3} = 2 \sqrt{2} a^{3}$ .

Câu 37:

Cho khối hộp ABCD. A'B'C'D' Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của AB, A'D' và CC' chia khối hộp thành hai đa diện. Khối chứa đỉnh D có thể tích là $V_{1,}$ khối chứa đỉnh có thể tích là $V_{2,}$ Khi đó ta có

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{4}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy rằng mặt phẳng đi qua tâm của hình hộp I, nên do đó nó chia hình thành 2 hình có thể tích bằng nhau. Tức là $\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1$ .

Câu 38:

Cho môt tấm tôn hình chữ: nhật ABCD có AD=60cm Ta gấp tấm tôn theo 2 cạnh MN và QP vào phía trong sao cho trùng với (như hình vẽ) để được lăng trụ đứng khuyết hai đáy. Khối lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x bằng bao nhiêu

A. x=20

B. =30

C. x=45

D. x=40

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác NPD là lớn nhất, điều này xảy ra khi tam giác đó là tam giác đều (vì chu vi là không đổi) tức là x=20cm

Câu 39:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA,BC,BD đôi một vuông góc với nhau, $B A = 3 a$ $B C = B D = 2 a .$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của $A B v à A D$ . Tính thể tích khối chóp

A. $V = 8 a^{3}$

B. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

C. $V = \frac{3 a^{3}}{2}$

D. $V = a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

$\frac{V_{C . B M N D}}{V_{C . A B D}} = \frac{S_{B M N D}}{S_{A B C}} = \frac{3}{4} \Rightarrow V_{C . B M N C} = \frac{3}{4} V_{A B C D} = \frac{3}{4} . \frac{1}{6} . B A . B C . B D = \frac{3}{2} a^{3}$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2HA. Cạnh tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng $60 °$ Khoảng cách từ trung điểm K củaHC đến mặt phẳng(SCD) Là

A. $\frac{a \sqrt{13}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{13}}{4}$

C. $a \sqrt{13}$

D. $\frac{a \sqrt{13}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

$d (K, (S C D)) = \frac{1}{2} d (H, (S C D)) = \frac{1}{2} H F .$

$A H = \frac{1}{3} A B = \frac{1}{3} a; B H = \frac{2}{3} A B = \frac{2}{3} a$

$C H = \sqrt{B H^{2} + B C^{2}} = \frac{\sqrt{13}}{3} a .$

$C ó g ó c g i ữ a S C v à đ á y l à 60 ° n ê n t a c ó$

$\hat{S C H} = 60^{0} \Rightarrow S H = \tan 60^{0} . C H = \frac{\sqrt{39}}{3} a$

ta có $\frac{1}{H F^{2}} = \frac{1}{H E^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow H F = \frac{\sqrt{13}}{4} a$

Câu 41:

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; biết $A B = A D = 2 a, C D = a .$ Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng $(S B I) v à (S C I)$ cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{3 \sqrt{15} a^{3}}{5} .$ Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C) v à (A B C D)$ bằng

A. $90^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $30^{\circ}$

D. $45^{\circ}$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ $I H ⊥ B C$ . Ta có $S_{I B C} = S_{A B C D} - S_{A B I} - S_{C D I} = \frac{3}{2} a^{2}$

Mà $B C = \sqrt{A D^{2} + {(A B - C D)}^{2}} = \sqrt{5} a$

$\Rightarrow I H = \frac{3 \sqrt{5}}{5} a$

Dễ thấy góc giữa 2 mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C D)$ là góc SJI, có $S I = \frac{3 V_{A B C D}}{S_{A B C D}} = \frac{3 \sqrt{15}}{5} a .$

Vậy $\tan S I J = \frac{S I}{I H} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S I J} = 60^{0}$ .

Câu 42:

Cho hàm số $y = \frac{x + b}{a x - 2} (a b \neq - 2) .$ Biết rằng $a v à b$ là các giá tri thoả mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M (1; - 2)$ song song với đường thẳng $d : 3 x + y - 4 = 0.$ Khi đó giá trị của bằng

A.2

B.0

C.-1

D.1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $3 x + y - 4 = 0 \Leftrightarrow y = 4 - 3 x$

$\{\begin{matrix} y (1) = - 2 \\ y^{'} (1) = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1 + b}{a - 2} = - 2 \\ \frac{- 2 - a b}{{(a - 2)}^{2}} = - 3 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 3 - 2 a \\ - 2 - a (3 - 2 a) = - 3 (a^{2} - 4 a + 4) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 3 - 2 a \\ [\begin{matrix} a = 1 \\ a = 2 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \end{matrix} \\ \{\begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \end{matrix} (L) \end{matrix}$

Vậy $a = 1; b = 1 \Rightarrow a + b = 2$

Câu 43:

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4.$ Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến đường tròn thành đường tròn (C) nào sau đây

A. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$

B. ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$

C. ${(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi (C'') có tâm I' và $R^{'} = 2 R = 4$ .

Ta có $\vec{O I^{'}} = - 2 \vec{O I} \Rightarrow I' (- 2; - 4)$ ( vì $I (1; 2); R = 2$ ).

Vậy phương trình có $(C^{'}) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16$ .

Câu 44:

Phương trình $\cos^{2} 2 x + c os2x- \frac{3}{4} = 0$ có nghiệm là

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{3} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{2 π}{3} + k π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án A

$c o s^{2} 2 x + c o s 2 x - \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} c o s 2 x = \frac{1}{2} \\ c o s 2 x = - \frac{3}{2} (L) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ 2 x = \frac{- π}{3} + k 2 π \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{- π}{6} + k π \end{matrix} .$

Câu 45:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình $(s inx - 1) ({cos}^{2} x - \cos x + m) = 0$ có đúng nghiệm thuộc đoạn $[0; 2 π] .$

A. $0 \leq m < \frac{1}{4}$

B. $- \frac{1}{4} < m \leq 0$

C. $0 < m < \frac{1}{4}$

D. $- \frac{1}{4} < m < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$(\sin x - 1) (\cos^{2} x - \cos x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = 1 (1) \\ \cos^{2} x - \cos x + m = 0 (2) \end{matrix}$

Trong $[0; 2 π]$ thì phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm $x = \frac{π}{2}$ nên để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thì phương trình 2 phải có 4 nghiệm phân biệt tức là phương trình $t^{2} - t + m = 0 (*)$ phải có 2 nghiệm trong khoảng $(- 1; 1)$ và khác 0

(*) $\Leftrightarrow m = t - t^{2}$ . Lập bảng biến thiên của vế trái.

Vậy điều kiện của m là $m \in (0; \frac{1}{4})$ .

Câu 46:

Tính tổng $S = {(C_{100}^{1})}^{2} + {(C_{100}^{2})}^{2} + {(C_{100}^{3})}^{2} + . . + {(C_{100}^{100})}^{2} .$

A. $S = C_{200}^{100}$

B. $S = 2^{200} - 1$

C. $S = C_{200}^{100} - 1$

D. $S = C_{200}^{100} + 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Có ${(C_{100}^{1})}^{2} + {(C_{100}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{100}^{100})}^{2}$

$= C_{100}^{1} . C_{100}^{99} + C_{100}^{2} . C_{100}^{98} + C_{100}^{3} . C_{100}^{97} + .. + C_{100}^{100} . C_{100}^{0}$

= $C_{100}^{0} . C_{100}^{100} + C_{100}^{2} . C_{100}^{98} + C_{100}^{3} . C_{100}^{97} + .. + C_{100}^{100} . C_{100}^{0} - 1 = C_{200}^{100} - 1$ .

Để chứng minh dòng trên ta có thể xét khai triển ${(1 + x)}^{100} {(x + 1)}^{100} = {(1 + x)}^{200}$

Xét hệ số khi biến đối theo $x^{100} \Rightarrow_{k = 0}^{100} C_{100}^{k} . C_{100}^{100 - k} = C_{200}^{100}$ .

Câu 47:

Cho phương trình $2 x^{4} - 5 x^{2} + x + 1 = 0 (1) .$ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1)

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2;0)

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1)

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2)

Xem đáp án

Đáp án D

Đây là hàm số liên tục trên toàn R và ta có

$y (0) = 1; y (1) = - 1; y (2) = 15 \Rightarrow y (0) . y (1) < 0; y (1) y (2) < 0 \Rightarrow$

phương trình có nghiệm trong $(0; 1); (1; 2) \Rightarrow$ phương trình có ít nhất 2 nghiệm trong $(0; 2)$ .

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a . Gọi M là trung điểm của CD Khoảng cách từ M đến mặt phẳng(SAB) là

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. a

C. $a \sqrt{2}$

D. 2a

Xem đáp án

Đáp án B

$d (M; S A B) = d (D, S A B) = D A = a$

Câu 49:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - 2 t^{3} + 18 t^{2} + 2 t + 1,$ trong đó t tính bằng giây (s) tính bằng mét(m) Tính thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất.

A. t=5s

B. t=6s

C. t=3s

D. t=1s

Xem đáp án

Đáp án C

Có $v (t) = S^{'} = - 6 t^{2} + 36 t + 2$ . Đây là hàm số bậc hai có a<0 nên nó sẽ đạt giá trị lớn nhất tại $t = - \frac{b}{2 a} = 3 (s)$ .

Câu 50: