Đáp án D

Số hoán vị của một tập hợp gồm phần tử là $P_n=n!.$

Số các hoán vị của một tập hợp có phần tử là  $P_6=6!=720.$

Đáp án D

Dùng các định nghĩa dãy số, dãy tăng, dãy giảm,… để kiểm tra tính đúng, sai của các đáp án.

Đáp án A: Định nghĩa dãy số: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp số nguyên dương A đúng.

Đáp án B: Dãy số   $u_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$có $u_1=1;u_2=-\frac{1}{2};u_3=\frac{1}{4};u_4=-\frac{1}{8}\mathrm{...}$  nên dãy này không tăng cũng không giảm B đúng.

Đáp án C: Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi $u_1$  vì $u_1<u_2<u_3<\mathrm{...}\Rightarrow C$  đúng.

Đáp án C

- Viết phương trình tiếp tuyến với C tại M.

+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  tại điểm $M{\text{ x}}_0;f{\text{ x}}_0{\text{ :y=f ' x}}_o{\text{ x-x}}_o{\text{ +f x}}_o.$

- Tìm tọa độ hai giao điểm A,B của tiếp tuyến với các trục tọa độ Ox, Oy.

- Diện tích tam giác OAB là:$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.$

 $y=\frac{1}{x}\Rightarrow y\text{'}=\frac{1}{x^2}.$Ta có:

$$\begin{gathered} x_M=2-\sqrt{3}\Rightarrow y_M=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} \\ \Rightarrow M\text{ 2-}\sqrt{3};2+\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Phương trình tiếp tuyến với C tại $M\text{ 2-}\sqrt{3};2+\sqrt{3}$  là:

$$\begin{gathered} d:y=-y\text{'}{\text{ x}}_M{\text{ x-x}}_M+y_M \\ =-\frac{1}{2-{\sqrt{3}}^2}x-2+\sqrt{3}+2+\sqrt{3} \\ =-2+{\sqrt{3}}^{2}x+4+2\sqrt{3}. \end{gathered}$$

Cho $x=0\Rightarrow y=4+2\sqrt{3}\Rightarrow B\left(\text{0;4+2}\sqrt{3}\right)$

Cho

 $$\begin{gathered} y=0 \\ \Rightarrow x=\frac{4+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{2}{2+\sqrt{3}} \\ =4-2\sqrt{3}\Rightarrow A\left(4-\text{2}\sqrt{3};0\right) \end{gathered}$$

Vậy $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|4+2\sqrt{3}\right|\left|4-2\sqrt{3}\right|=2$  .

Đáp án D

 Khử dạng vô định: $\infty -\infty$

- Trục căn thức $f\left(x\right)=\sqrt{4x^2+3x+1}-2x=\frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x}$

- Chia cả tử và mẫu của $f\left(x\right)$  cho  rồi cho $x\to +\infty$

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{4x^2+3x+1}-2x \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+3x+1}-2x\sqrt{4x^2+3x+1}+2x}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2+3x+1-2x^2}{\sqrt{4x^2+3x+1}-2x} \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+1}{\sqrt{4x^2+3x+1}+2x} \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x}}{\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}+2}}=\frac{3}{\sqrt{4}+2}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$

Đáp án B

- Quan sát bảng biến thiên.

- Khảo sát các hàm số của từng đáp án A, B, C, D.

- Quan sát bảng biến thiên ta thấy:

+)  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=-1

+) $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng và $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(-1;+\infty \right).$

Đáp án A: Đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}\Rightarrow$  loại.

Đáp án B: Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận ngang y=2 và tiệm cận đứng  x=-1

Lại có $y\text{'}=\frac{2\left(x+1\right)-2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\ne 1$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)\Rightarrow$  thỏa mãn.

Đáp án C: $y\text{'}=\frac{2\left(x+1\right)-2x-3}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ne -1$  nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$  và $\left(-1;+\infty \right)\Rightarrow$ loại.

Đáp án D: Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$  có tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow$  loại.

Đáp án A

Nhớ lại các quan hệ song song của đường thẳng mặt phẳng.

Đáp án B: $\alpha //\beta ,d_1\subset \alpha ;d_2\subset \beta$ thì $d_1//d_2$ hoặc $d_1$ chéo $d_2$ . Loại B.

Đáp án C: $\alpha //\beta ,d_1\subset \alpha ;d_2\subset \beta ;d_1//d_2$  thì có thể xảy ra trường hợp $\alpha$ cắt $\beta$  (trong TH này thì $d_1//d_2//\Delta$ với $\Delta$  là giao tuyến của hai mặt phẳng). Loại C.

Đáp án D: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng ta vẽ được duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho nên mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng vẽ được sẽ đều song song song với mặt phẳng dã cho. Vậy có vô số đường thẳng loại D.

Đáp án D

Tìm điều kiện xác định của hàm số:

- $\frac{Px}{Qx}$  xác định nếu $Qx\ne 0.$

- $\sqrt{Px}$ xác định nếu  $Px\ge 0.$

-$\tan ux$ xác định nếu $u\left(x\right)\ne k\pi ,\cot ux$xác định nếu $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

Hàm số xác định khi: $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \sin x\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{k\pi }{2}.$

Vậy TXĐ của hàm số là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}.$

Đáp án B

- Chọn một điểm đặc biệt rồi thực hiện liên liếp các phép quay tìm ảnh.

- Đối chiếu các đáp án, đáp án nào có ảnh trùng với ảnh vừa tìm thì nhận.

Cách giải:

Q là phép quay tâm A góc quay$90°$ , Q’là phép quay tâm C góc quay$270°$ .

Gọi M là trung điểm của AB. Phép quay Q biến M thành M’là trung điểm của AD.

Dựng $d\perp CM\text{'}$  và d cắt AB tại M”. Khi đó Q’biến M’thành M” .

Khi đó B là trung điểm của MM” nên đó chính là phép đối xứng qua tâm B.

Đáp án B

- Khảo sát hàm số, tìm điều kiện để đường thẳng cứt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt.

- Kiểm tra các đáp án thỏa điều kiện.

$y\text{'}=4x^3-4x=0\iff x=0;x=\pm 1.$

Bảng biến thiên

Do đó để đường thẳng  y=m cắt C tại 2 điểm phân biệt thì m>0

Trong các đáp án chỉ có y=1 thỏa mãn

Đáp án A

Lấy hai điểm bất kì thuộc d và cho đối xứng qua Oxta được hai điểm mới.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này ta được phương trình cần tìm.

 Xét hai điểm $A\left(0;3\right),B\left(-\frac{3}{2};0\right)\in d.$

Ảnh của A, B qua phép đối xứng trục Ox là $A\text{'}\left(0;-3\right),B\text{'}\left(-\frac{3}{2};0\right)$ .

 $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(-\frac{3}{2};3\right)$ nên d’ nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$ làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình $d\text{'}:2\left(x-0\right)+1\left(y+3\right)=0\iff 2x+y+3=0.$

Đáp án A

 Khảo sát hàm số, tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

$y\text{'}=2x6-x^2-2x.x^2=2x6-2x^2=0\iff x=0;x=\pm \sqrt{3}.$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right);\left(0;\sqrt{3}\right)$

Đáp án B

Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ, xét hàm.

Khi m=1 ta có: y=1 là hàm hằng nên m=1  không thỏa mãn.

Khi $m\ne 1$ . Đặt $t=\cos x$  . Vì $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $t\in \left(0;1\right)$

Xét hàm   $y=\frac{t-1}{t-m}$ có $y\text{'}=\frac{t-m-t+1}{t-m^2}=\frac{1-m}{t-m^2}.$  .

Để hàm số đã cho đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì hàm số  $y=\frac{t-1}{t-m}$ nghịch biến trên$\left(0;1\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-m<0\\ \left[\begin{array}{l}1<1-m\\ 1-m<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \left[\begin{array}{l}m<0\\ m>1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m>1.$

Đáp án C

 Khảo sát hàm số tìm các tiệm cận:

 $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$   nếu $\left[\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0\end{array}\right.$

$x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu thỏa mãn ít nhất

$\left[\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \\ \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{array}\right.$

+)  $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-2$nên  y=-2 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+)  $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=2$ nên y=2 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+)  $x^2+1=0$vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 

Đáp án D

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn:$S=\pi R^2,C=2\pi R.$

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông:$S=a^2,C=4a.$

 Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là  mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là $1-x$  mét.

Cạnh hình vuông là  $\frac{x}{4}$ nên diện tích hình vuông là $\frac{x^2}{16}.$

Bán kính hình tròn là $\frac{1-x}{2\pi }$  nên diện tích hình tròn là $\pi .{\left(\frac{1-x}{2\pi }\right)}^2=\frac{1-x^2}{4\pi }.$

Xét hàm $f\left(x\right)=\frac{x^2}{16}+\frac{1-x^2}{4\pi }$  có  $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{8}+\frac{x-1}{2\pi }=0\iff x=\frac{4}{\pi +4}.$

Do đó $f\left(x\right)$  đạt GTNN tại $x=\frac{4}{\pi +4}\Rightarrow 1-x=1-\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{\pi +4}.$

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất và đoạn thứ hai là $\frac{\pi }{\pi +4}:\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{4}.$

Đáp án B

Mặt phẳng cách đều 5 điểm là mặt phẳng mà khoảng cách từ 5 điểm đó đến mặt phẳng là bằng nhau.

Có 5 mặt phẳng thỏa mãn là:

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB,CD và song song với SBC .

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB,CD và song song với SAD .

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AD,BC và song song với SAB .

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của AD,BC và song song với SCD .

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của SA,SB,SC,SD.

Đáp án D

 Xét từng trường hợp: chữ số đầu tiên bằng 1, chữ số thứ hai bằng 1, chữ số thứ ba bằng 1.

Cách giải: Gọi số đó là  $\overrightarrow{abcde}$

- TH1: a=1

+ b có 7 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 7.6.5.4=840 số

- TH2:b=1

+ $a\ne b,a\ne 0$  nên có 6 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 6.6.5.4=720 số.

- TH3: c=1.

+ $a\ne c,a\ne 0$ nên có 6 cách chọn.

+ b có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có 6.6.5.4=720 số.

Vậy có tất cả 840+720+720=2280 số.

Đáp án D

Sử dụng mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng.

- Hai mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.

- Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

- Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Vì  $\left\{\begin{array}{l}SAB\perp ABCD\\ SAD\perp ABCD\\ SAB\cap SAD=SA\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp ABCD$$\Rightarrow SA\perp BC$

Mà $AH\perp SB$  nên$AH\perp SBC\Rightarrow AH\perp SC.$

Tương tự ta có$AK\perp SCD\Rightarrow AH\perp SC.$

Do đó $SC\perp AHK\Rightarrow SC\perp HK\Rightarrow A$ đúng.

 $SA\perp ABCD\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow B$đúng.

  $BC\perp AH\left(cmt\right)\Rightarrow C$ đúng. 

Đáp án A

Công thức khai triển nhị thức New-ton:${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}.$

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right)}^{12}=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(\frac{x}{3}\right)}^k{\left(-\frac{3}{x}\right)}^{12-k} \\ =\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{x}^k{\left(-3\right)}^{12-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{12-k} \end{gathered}$$

Số hạng chứa $x^4$  nên ta tìm k sao cho$x^k$

 $$\begin{gathered} x^{12-k}=x^4 \\ \iff x^{2k-12}=x^4 \\ \iff 2k-12=4\iff k=8. \end{gathered}$$

Vậy hệ số của số hạng chứa$x^4$ là:$C_{12}^8.{\left(\frac{1}{3}\right)}^8.-3^{12-8}=\frac{C_{12}^8}{3^4}=\frac{55}{9}$

Đáp án D

Cách giải:

Đặt $\frac{\pi t}{14}=u\Rightarrow u\in \left[0;\frac{12\pi }{7}\right)$ khi đó ta có $h=2\sin \left(3u\right)\left(1-4{\sin }^{2}u\right)+12$

Đặt  $\iff h=2\left(3\sin u-4{\sin }^{3}u\right)\left(1-4{\sin }^{2}u\right)+12$

$6t-24t^3-8t^3+32t^5+12$

$32t^5-32t^3+6t-12$

Xét $u\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow v\in \left[0;1\right]$

Dùng [MODE] [7] ta có : trong khoảng  có 1 lần hàm số đạt giá trị bằng 13.

 trong khoảng có 1 lần hàm số đạt giá trị bằng 13.

trong khoảng có 1 lần hàm số đạt giá trị bằng 13.

Vậy  $v\in \left[0;1\right]$ thì có 3 lần $f\left(v\right)=13.$

Xét $u\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right]\Rightarrow v\in \left[0;1\right]$ . Tương tự như trên ta có 3 lần$f\left(v\right)=13.$

 Xét $u\in \left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow v\in \left[-1;0\right]$ có 2 lần $f\left(v\right)=13.$

Xét $u\in \left[\frac{3\pi }{2};\frac{12\pi }{7}\right]\Rightarrow v\in \left[-1;\sin \frac{12\pi }{7}\right)\Rightarrow$ có 1 lần $f\left(v\right)=13.$

Vậy có tất cả 9 lần mực nước trong kênh đạt độ sâu 13m.

Đáp án C

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n:$A_n^k=\frac{n!}{n-k!}.$

Công thức tính số tổ hợp chập k của n :$C_n^k=\frac{n!}{k!n-k!}.$

Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:$C_n^k=C_n^{n-k}$

$C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}$

 Quan sát các đáp án đã cho ta thấy đáp án C đúng.

Đáp án C

 Vẽ hình và quan sát, chọn đáp án.

Quan sát hình vẽ bên ta thấy khối chóp S.ABCD được chia thành hai khối tứ diện S.ABC và  SADC hay hai khối tứ diện CSAB và C.SAD. 

Đáp án C

 Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.

- Phép tịnh tiến là một phép dời hình.

- Phép đối xứng trục là một phép dời hình.

- Phép vị tự với tỉ số -1 là một phép dời hình.

- Phép quay là một phép dời hình.

Vậy có 4 phép dời hình.

Đáp án C

 Tìm GTNN của hàm số $y=f\left(x\right)$ trong :

- Tính $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)$  và cho $y\text{'}=0$ tìm $x_1,x_2\mathrm{,...,}{x}_n\in a,b.$ .

- Tính   $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right)\mathrm{,...,}f\left(x_n\right)$ và so sánh các kết quả.

$$\begin{gathered} y=\cos 2x-8\cos x-9=2{\cos }^{2}x-1-8\cos x-9 \\ =2{\cos }^{2}x-8\cos x-10. \end{gathered}$$

Đặt $t=\cos xt\in \left(-1;1\right)$  thì $y=f\left(t\right)=2t^2-8t-10t\in \left(-1;1\right)$

$f\text{'}\left(t\right)=4t-8t=2\notin \left(-1;1\right)$

$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=2.-1^2-8.-1-10 \\ =\mathrm{0,}f\left(1\right)={2.1}^2-8.1-10=-16. \end{gathered}$$

Do $f\left(1\right)<f\left(-1\right)$  nên  $y_{\min }=-16$ khi $\cos x=1\iff x=k\pi .$

Đáp án A

 Hình lập phương là hình có 6 mặt đều là các hình vuông.

Hình lập phương có 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh nên tổng số cạnh, mặt đỉnh là: $6+8+12=26.$

Đáp án C

Biến đổi, đưa phương trình trên về dạng phương trình tích, sử dụng công thức nhân đôi của cos.

Cô lập m đưa phương trình về dạng $f\left(x\right)=m.$  Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$  và đường thẳng  song song với trục hoành.

$\left(\cos x+1\right)\left(4\cos 2x-m\cos x\right)=m{\sin }^{2}x$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x\right)=m\left(1-{\cos }^{2}x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x\right)=m\left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\cos x-m\left(1-\cos x\right)\right)=0$

$\iff \left(\cos x+1\right)\left(4.\cos 2x-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x+1=0\\ 4\cos 2x-m=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ \cos 2x=\frac{m}{4}\left(*\right)\end{array}\right.$

Xét nghiệm $x=\pi +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\notin \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]\forall k\in \mathbb{Z}$

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm thuộc$\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ thì phương trình (*)có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ .

Xét hàm số $y=\cos 2x$ trên  $\left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$ta có:

Mà $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}$

BBT

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $-1<\frac{m}{4}\le -\frac{1}{2}\iff -4<m\le -2$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-3;-2\right\}$

Đáp án A

Hàm đa thức bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)\left(C\right)$ có 2 cực trị thuộc về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y\text{'}=0$  có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+5x+1=0$   ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên đáp án A đúng. Do đó C sai.

Dễ thấy điểm   $A\left(1;0\right)$ không thuộc đồ thị hàm số vì $\frac{1}{3}-3+5+1=\frac{10}{3}\ne 0$ . Do đó D sai.

Ta có: $y\text{'}=x^2-6x+5=0\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=0\end{array}\right.$ có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên hai cực trị cùng nằm và bên phải trục tung. Do đó B sai.

Đáp án A

 Giải phương trình lượng giác cơ bản $\cos x=\cos \alpha \Rightarrow x=\pm \alpha +k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$$\begin{gathered} \cos 2x=\frac{1}{2}\Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

 Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp:$A_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!};C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$  để giải bất phương trình. Lưu ý điều kiện của$C_n^k$  là $0\le k\le n;k,n\in \mathbb{N}.$

mĐK:$\left\{\begin{array}{l}n-1\ge 4\\ n-1\ge 3\\ n-2\ge 2\end{array}\right.\iff n\ge 5$

 $C_{n-1}^4-C_{n-1}^3-\frac{5}{4}{A}_{n-2}^2<0$$\iff \frac{\left(n-1\right)!}{4!\left(n-5\right)!}-\frac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-4\right)!}-\frac{5\left(n-2\right)!}{4!\left(n-4\right)!}<0$

$\iff \frac{\left(n-2\right)!}{\left(n-5\right)!}\left(\frac{n-1}{24}-\frac{n-1}{6\left(n-4\right)}-\frac{5}{4\left(n-4\right)}\right)<0$$\iff \frac{n-1}{24}-\frac{n-1}{6\left(n-4\right)}-\frac{5}{4\left(n-4\right)}<0$

$\iff \frac{\left(n-1\right)\left(n-4\right)-4\left(n-1\right)-5.6}{24\left(n-4\right)}<0$

$\iff n^2-5n+4-4n+4-30<0$

$\iff n^2-9n-22<0$

 $\iff n\in \left(-2;11\right)$

   Kết hợp điều kiện ta có $n\in \left[5;11\right)$

Mà n là số nguyên dương nên .$n\in \left\{5;6;7;8;9;10\right\}$

Đáp án D

 Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a là  $S_{tp}=6a^2$.

Khi dùng các mặt phẳng như đề bài cho để chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta được 125 khối lập phương nhỏ bằng nhau.

Do đó diện tích toàn phần của 1 khối lập phương nhỏ là  $\frac{480}{125}=\frac{96}{25}$

Gọi cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng a thì độ dài cạnh hình lập phương nhỏ bằng$\frac{a}{5}.$

Suy ra diện tích toàn phần của 1 hình lập phương nhỏ là:$6{\left(\frac{a}{5}\right)}^2=\frac{96}{25}\iff a=4$

Đáp án B

Xác suất của biến cố A là $\frac{n_A}{n_{\Omega }}$ trong đó là $n_A$số khả năng mà biến cố A có thể xảy ra,  $n_{\Omega }$là tất cả các khả năng có thể xảy ra.

$\frac{x^2+bx+c}{x+1}=0\left(*\right)$

Để phương trình (*) vô nghiệm thì phương trình  $x^2+bx+c=0\left(**\right)$có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: PT (**) có 1 nghiệm x= -1

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Delta =b^2-4c=0\\ 1-b+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=4c\\ c=b-1\end{array}\right.\iff b^2=4b-4\iff b^2-4b+4=0\iff b=2\Rightarrow c=1$

TH2: PT (**) vô nghiệm $\iff \Delta =b^2-4c<0\Rightarrow b^2<4c\iff b<2\sqrt{c}$

Vì c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ 2 nên .$c\le 6\Rightarrow b\le 2\sqrt{6}\approx \mathrm{4,9}$

Mà b là số chấm xuất hiện ở lần giao đầu nên$b\in \left\{1;2;3;4\right\}$

Với  b=1 ta có:  $c>\frac{1}{4}\Rightarrow c\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}\Rightarrow$có 6 cách chọn c.

Với b=2 ta có: $c>1\Rightarrow c\in \left\{2;3;4;5;6\right\}\Rightarrow$ có 5 cách chọn c.

Với b=3 ta có:  $c>\frac{9}{4}\Rightarrow c\in \left\{3;4;5;6\right\}\Rightarrow$có 4 cách chọn c.

Với b=4 ta có: $c>4\Rightarrow c\in \left\{5;6\right\}\Rightarrow$ có 2 cách chọn c.

Do đó có $6+5+4+2=17$ cách chọn để phương trình (**) vô nghiệm.

Gieo con súc sắc 2 lần nên số phần tử của không gian mẫu$n_{\Omega }=6.6=36$

Vậy xác suất đề phương trình (*) vô nghiệm là$\frac{1+17}{36}=\frac{1}{2}.$

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số đề suy ra hàm số cần tìm.

 Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy đây là hình dạng của hàm đa thức bậc ba. Suy ra loại B.

Vì  $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty \Rightarrow a<0\Rightarrow$loại C.

Ta có: Đồ thị hàm số đi qua điểm  $\left(0;2\right)$suy ra loại D.

Đáp án B

 Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’$\iff \overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{IM}$

 Gọi  $M\text{'}\left(x;y\right)$ là ảnh của M qua $V_{\left(0;2\right)}$ ta có:

$V_{\left(0;2\right)}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{OM\text{'}}=2\overrightarrow{OM}$

$$\begin{gathered} \iff \left(x;y\right)=2\left(-2;5\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=10\end{array}\right. \\ \Rightarrow M\text{'}\left(-4;10\right)\equiv A \end{gathered}$$

Đáp án D

Đối với mỗi khối đa diện ta kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt và đa diện đều đó thuộc loại$\left\{n;p\right\}$  (khối đa diện lồi có các mặt là n – giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh) thì$pĐ=2C=nM.$  

Gọi khối đa diện thuộc loại$\left\{n;p\right\}$  (khối đa diện lồi có các mặt là n – giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh)

Theo đề bài ta có: p=3.

Khi đó áp dụng công thức $pĐ=2C=nM.$ Trong đó Đ, C, M lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối đa diện.

$3Đ=2C\Rightarrow Đ=\frac{2C}{3}.$

Do đó Đ là số chẵn.

Đáp án B

Để hàm số bậc bốn $y=x^4+b{x}^2+c$ có 3 cực trị thì phương trình  $y\text{'}=0$có 3 nghiệm phân biệt. Và khi hàm số trên có ba cực trị thì ba cực trị đó luôn tạo thành một tam giác cân.

Cách giải: Ta có:$y\text{'}=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Để phương trình $y\text{'}=0$ có 3 nghiệm phân biệt $\iff m>0$

$\Rightarrow y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=2m^2-m\Rightarrow A\left(0;2m^2-m\right)\\ x=\sqrt{m}\Rightarrow y=m^2-m\Rightarrow B\left(\sqrt{m};m^2-m\right)\\ x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=m^2-m\Rightarrow C\left(-\sqrt{m};m^2-m\right)\end{array}\right.$

Ta có tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A nên để ABC là tam giác vuông cân thì ta cần thêm điều kiện tam giác ABC vuông tại A$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m};-m^2\right);\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right)$

$\Rightarrow -m+m^4=0\iff m\left(m^3-1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(ktm\right)\\ m=1\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy m=1

Đáp án A

 Đường thẳng  $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số  $y=f\left(x\right)$ nếu  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$hoặc$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

$y=mx-\sqrt{x^2-2x+2}=\frac{m^2{x}^2-x^2+2x-2}{mx+\sqrt{x^2-2x+2}}=\frac{\left(m^2-1\right)x^2+2x-2}{mx+\sqrt{x^2-2x+2}}$

Để hàm phân thức có tiệm cận ngang thì bậc tử phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu$\iff m^2-1=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C

 Gọi A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P). Khi đó $d\left(A;\left(P\right)\right)=AA\text{'}$ .

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác ABC

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Gọi H là hình chiếu đỉnh S lên mp (ABC) khi đó ta có góc tạo bởi SA, SB, AC với đáy lần lượt là$SAH;SBH;SCH$  và$SAH=SBH=SCH=60°$

Dễ dàng chứng minh được  $\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác$\Delta ABC.$

Đặt$SH=h.$

Xét tam giác vuông SAH có$AH=SH.\cot 60°=\frac{h}{\sqrt{3}}=R.$