20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 70 câu trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân nâng cao (P1) (Đề số 3)

Câu 1:

16/07/2024

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn $\log u_{1} + \sqrt{- 2 + \log u_{1} - 2 \log u_{8}} = 2 \log u_{10}$ và u_n+1 = 10u_n, ∀ n ∈ R* Khi đó u₂₀₁₈bằng

A. 10²⁰⁰⁰

B. 10²⁰⁰⁸

C. 10¹⁰⁰⁸

D. 10²⁰¹⁷

Xem đáp án

Chọn A.

Dễ thấy u_n là cấp số nhân với q = 10

Ta có: u₈ = 10⁷u₁; u₁₀ = 10⁹u₁

Do đó PT

Giải PT ta được logu₁ = -17 ⇔ u₁ = 10^-17 ⇒ u₂₀₁₈ = 10²⁰¹⁷u₁ = 10²⁰⁰⁰

Câu 2:

17/07/2024

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn ln²u₆ – ln $u_{8}$ = ln u₄ – 1 và u_n+1 = u_n.e với mọi n ≥ 1 Tìm u₁

A. e

B. e²

C. e^-3

D. e^-4

Xem đáp án

Chọn D.

Vì u_n+1 = u_n.e nên dễ thấy dãy số (u_n) là cấp số nhân có công bội q = e

Từ giả thiết suy ra:

ln²u₆ – (ln u₈ +ln u₄) + 1 = 0 ⇔ ln²u₆ – (ln u₈u₄) + 1 = 0

( vì đây là cấp số nhân nên: $u_{8} . u_{4} = u_{6}^{2} \Leftrightarrow \ln (u_{8} . u_{4}) = \ln (u_{6}^{2}) = 2 \ln u_{6}$

⇔ (ln u₆ – 1)² = 0

⇔ ln u₆ = 1 ⇔ u₆ = e ⇔ $u_{1} . e^{5} = e$ nên u₁ = e^-4

Câu 3:

17/07/2024

Cho dãy số thỏa mãn u₁ = 5; u_n+1 = 3u_n+ 4/3. Giá trị nhỏ nhất của n để u₁ + u₂ + … + u_n > 5¹⁰⁰ - 2/3n là

A. 141

B. 142

C. 145

D. 146

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có

Đặt

suy ra (v_n) là cấp số nhân với

Suy ra u₁ + u₂ + … + u_n = (v₁ + v₂ + … + v_n) – n.2/3

Yêu cầu bài toán:

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn bài toán là n = 146.

Câu 4:

16/07/2024

Cho các số x + 2; x + 14; x + 50 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Khi đó x² + 2013 bằng:

A. 2019

B. 2017

C. 2017

D. 2020

Xem đáp án

Chọn A.

3 số lập thành cấp số nhân nên (x + 2)(x + 50) = (x + 14)²

^{$\Leftrightarrow x^{2} + 52 x + 100 = x^{2} + 28 x + 196$}

Suy ra 24x = 96 hay x = 4.

Khi đó x² + 2013 = 2019.

Câu 5:

16/07/2024

Cho a, b, c là các số thực, theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Biết $\{\begin{cases} a + b + c = 26 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 364 \end{cases}$ Tìm b.

A. 9

B. 7

C. 6

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

Từ đó ta có

Đặt có hệ

Vậy b² = ac = 36 nên b = 6 hoặc b = - 6

Câu 6:

16/07/2024

Giá trị của tổng 4+44+444+....+44..4 (tổng đó có 2018 số hạng)

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 7:

16/07/2024

Tính tổng của $S_{n} = - {(2 + \frac{1}{2})}^{2} + {(4 + \frac{1}{4})}^{2} - {(8 + \frac{1}{8})}^{2} + . . . . + {(- 1)}^{n} {(2^{n} + \frac{1}{2^{n}})}^{2}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

- Có dãy số -2², 2⁴, …, (-1)ⁿ.2²ⁿ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = -4 và công bội q = -4.

Do đó

- Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội q = -1/4.

Câu 8:

16/07/2024

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 2; u₁ – 12u₂ – 6u₃ đạt giá trị lớn nhất. Tìm công bội q?

A. 1

B. 2

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi q là công bội của cấp số nhân

Ta có

u₁ – 12 $u_{2}$ – 6u₃ = 2 – 12.2q – 6.2q² = -12q² – 24q + 2 = -12(q + 1)² + 14 ≤ 14 ∀ q

Do đó để u₁ – 12u₂ – 6u₃ đạt giá trị lớn nhất thì q = -1.

Câu 9:

16/07/2024

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: x³ – 7mx² + 2(m² + 6m)x – 64 = 0.

A. m = 8

B. m = 0

C. m = -1hoặc m = 7

D. m = 0 hoặc m = 8

Xem đáp án

Chọn A.

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có x₁.x₂.x₃ = 64

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x₁x₃ = x₂². Suy ra ta có x₂³ = 64 ⇔ x₂ = 4

Thay x = 4 vào phương trình đã cho ta được: 4³ – 7m.4² + 2(m² + 6m).4 – 64 = 0

⇔ m² – 8m = 0

+ Điều kiện đủ: Với m = 0 thay vào phương trình đã cho ta được: x³ – 64 = 0 hay x = 4

(nghiệm kép-loại)

Với m = 8 thay vào phương trình đã cho nên ta có phương trình x³ – 56x² + 224x – 64 = 0

Giải phương trình này, ta được 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.

Câu 10:

18/07/2024

Cho dãy số (U_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{3}$ và $u_{n + 1} = \frac{n + 1}{3 n} . u_{n}$ . Tổng $S = u_{1} + \frac{u_{2}}{2} + \frac{u_{3}}{3} + . . . . . + \frac{u_{10}}{10}$ bằng

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt

suy ra trong đó V_nlà cấp số nhân với công sai q = 1/3

Do đó

Câu 11:

22/07/2024

Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?

A. 5

B. 7

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

+) Nếu số lá sen ngày đâù là 1= 3⁰ thì số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 3¹; số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 3² ...số lá sen ngày thứ 10 là 3⁹ .

Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá.

+) Nếu ngày đầu có u₁ = 9 lá thì ngày thứ 2 có: 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...

Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u₁ = 9, q = 3.

Số hạng thứ n là u_n = u₁.q^n-1 = 9.3^n-1.

Để hồ đầy lá sen thì cần 3⁹ lá

^{$9 . 3^{n - 1} = 3^{9} \Leftrightarrow 3^{2} . 3^{n - 1} = 3^{9} \Leftrightarrow 2 + n - 1 = 9 \Leftrightarrow n = 8$}

Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.

Câu 12:

16/07/2024

Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = -3 và u₂² + u₃² + u₄² đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S₁₀₀ của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. S₁₀₀ = -14650.

B. S₁₀₀ = -14400.

C. S₁₀₀ = -14250.

D. S₁₀₀ = -15450.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt a = u₁ thì u₂² + u₃² + u₄² = (a + d)² + (a + 2d)² + (a + 3d)² = 3a² – 36a + 126 = 3(a – 6)² + 18 ≥ 18 với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a – 6 = 0 hay a = 6.

Suy ra 6 = u₁.

Ta có

Câu 13:

16/07/2024

Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: x⁴ – 10x² + 2m² + 7m = 0, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 10t + 2m² + 7m = 0.

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì phương trình(*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁, t₂(t₁ < t₂).

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 10 ; t₁.t₂ = 2m² + 7m.

Suy ra ta có hệ phương trình

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó .

Câu 14:

16/07/2024

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3; 15u₁ – 4u₂ + u₃ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

A. u₁₃ = 24567.

B. u₁₃ = 12288.

C. u₁₃ = 49152.

D. u₁₃ = 3072.

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)

Ta có:

⇒ min(15u₁ – 4u₂ + u₃) = 33 khi q = 2

Suy ra u₁₃ = u₁q¹² = 3.2¹² = 12288.

Câu 15:

20/07/2024

Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

A. 19674.

B. 59040.

C. 177138.

D. 6552

Xem đáp án

Chọn B.

u₁ = 18, u₂ = 54 ⇒ q = 3

u_n = 39366 ⇔ u₁.q^n-1 = 39366 ⇔ 18.3^n-1 = 39366 ⇔ 3^n-1 = 3⁷ ⇔ n = 8.

Vậy

Câu 16:

16/07/2024

Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.

A. 3, 7, 11

B. 3; 8; 10

C. 18, 7, -4

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi u₁; u₂; u₃ tạo thành cấp số cộng.

Theo đề bài: u₁ + 2; u₂ + 3; u₃ + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Theo đề bài:

Giải (*): (16 – u₃)(u₃ + 9) = 100 ⇔ -u₃² + 7u₃ + 44 = 0 ⇔ u₃ =11 ∨ u₃ = - 4

Với u₃ = 11 ⇒ u₁ = 3.

Với u₃ = -4 ⇒ u₁ = 18.

Câu 17:

09/11/2024

Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm số lớn nhất trong 3 số đó?

A. 5; 20; 40

B. 40

C. 45

D.5; 15; 45

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C.

Lời giải

Gọi u₁; u₂; u₃ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Theo đề: u₁ – 1; u₂; u₃ – 19 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Ta có:

Lấy ⇔ 4(1 + q + q²) = 13(1 – 2q + q²)

⇔ 9q² – 30q + 9 = 0 ⇔ q = 3 ∨ q = 1/3

Vì u₁; u₂; u₃ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn q = 3 khi đó u₁ = 5

Do đó u₁ = 5; u₂ = 15; u₃ = 45

Vậy số lớn nhất trong 3 số là 45

*Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u₁ và q. Tìm u₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1}. q

*lý thuyết:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q với $n \in ℕ^{*} .$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

2) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n - 1} với $n \geq 2.$

3) Tính chất cấp số nhân

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ với $k \geq 2.$

(Hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

4) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{u_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm

Công thức tính Cấp số nhân (2024) và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cấp số nhân (có đáp án ) – Toán 11

Câu 18:

23/07/2024

Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?

A. Dãy số (a_n), với a₁ = 3 và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

B. Dãy số (b_n), với b₁ = 1 và b_n+1(2b_n² + 1) = 3 ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

C. Dãy số (c_n), với c₁ = 2 và c_n+1=3c_n² – 10 ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

D. Dãy số (d_n), với d₁ = -3 và d_n+1 = 2d_n² – 15, ∀ n ≥ 1 vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Xem đáp án

Chọn D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có a₂ = 3; $a_{3}$ = 3;… Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng a_n = 3, ∀ n ≥ 1. Do đó (a_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được b_n = 1, ∀ n ≥ 1. Do đó (b_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được c_n = 2, ∀ n ≥ 1. Do đó (c_n) là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).

+ Phương án D: Ta có: d₁ = -3 ; d₂ = 3 ; d₃ = 3. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số (d_n) không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

Câu 19:

18/07/2024

Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác theo a.

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.

Chu vi của tam giác: x + y + z = 3a (1)

Tính chất của cấp số cộng có x + z = 2y (2)

Vì tam giác vuông nên có: x² + y² = z² (3)

Thay (2) vào (1) được 3y = 3a hay y = a, thay y = a vào (2) được: x + z = 2a hay x = 2a - z

Thay x và y vào (3) được: (2a – z)² + a² = z² ⇔ 5a² – 4az = 0 ⇔

Độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu:

Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác là

Câu 20:

16/07/2024

Biết rằng S = 1 + 2.3 + 3.3² + … + 11.3¹⁰ = $a + \frac{21 . 3^{b}}{4}$ .Tính $P = a + \frac{b}{4}$

A. P = 1

B. P = 2

C. P = 3

D. P = 4

Xem đáp án

Chọn C.

Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.3² + 3.3³ + … + 11.3¹¹. Do đó

-2S = S – 3S = 1 + 3 + 3² + … + 3¹⁰ – 10.3¹¹

Vì

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3