Ta có u1 = 3; u8 = 24, n = 8.

Tổng của 8 số hạng này  là: 

$S_8= \frac{n.(u_1+\hspace{0.17em}{u}_8)}{2}= \frac{8. (3+\hspace{0.17em}24)}{2}= 108$

Đáp án C

Xét phương án B :

Ta có: $b_{n +\hspace{0.17em}1} = b_n- 3\iff b_{n +\hspace{0.17em}1}- b_n= - 3$  ( một số không đổi)

Do đó, đây là cấp số cộng có công sai d = -3.
Đáp án là B

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là x - 3d; x- d; x + d; x + 3d.

Bốn số này lập thành cấp số cộng với công sai là 2d.

Theo giả thiết ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x- 3d+\hspace{0.17em}x - d +\hspace{0.17em}x +\hspace{0.17em}d +\hspace{0.17em}x +\hspace{0.17em}3d = 22\\ {(x- 3d)}^2+\hspace{0.17em}{(x- d)}^2+\hspace{0.17em}{(x+\hspace{0.17em}d)}^2+\hspace{0.17em}{(x+3d)}^2= 166\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4x = 22\\ 4x^2+\hspace{0.17em}20d^2= 166\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = \frac{11}{2}\\ d = \pm \frac{3}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy 4 số đó là 1,4,7,10 hoặc 10,7,4,1

Tổng các lập phương của chúng: 13+43+73+ 103=1408

Đáp án là D

Dễ thấy $u_n=4n-5$

Ta có: $u_{n+1}=4(n+1)-5=4n-1$

$\Rightarrow u_{n+1}=u_n+4,\forall n\ge 1$

Suy ra $\left(u_n\right)$  là một cấp số cộng với công sai là $d=4$

Ta có:  $u_1= 4.1- 5 = -1; u_{15}= 4.15 - 5 = 55$

Vậy  $u_1+u_2+\mathrm{...}+u_{15}=S_{15}=\frac{15}{2}\left(u_1+u_{15}\right)=\frac{15}{2}\left(-1+55\right)=405$

Đáp án là A

Vế trái: 1 + 3+ 5+ .. + x là tổng của cấp số cộng có $u_1= 1; d = 2; u_n= x$

$$\begin{gathered} S_n= \frac{n. [2+\hspace{0.17em}(n-1).2]}{2}= 64 \\ \iff 2n+\hspace{0.17em}2n^2- 2n = 128 \\ \iff 2n^2= 128\iff n^2= 64 \\ \Rightarrow n = 8 \end{gathered}$$

Khi đó, $x = u_8= 1+\hspace{0.17em}7. 2 = 15$

Đáp án C.

Ta có $u_n=4+(n-1).3=3n+1$  với $1\le n\le 100$

$v_k=1+(k-1).5=5k-4$ với $1\le k\le 100$

Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng ta phải có

$3n+1=5k-4\iff 3n=5(k-1)$

$\Rightarrow n⋮5$ tức là  $n=5t$ với $t\in \mathbb{Z}$

Vì $1\le n\le 100$  nên $1\le t\le 20$ . Do đó có 20 số hạng chung của hai dãy số.

Chọn đáp án B

Độ cao của tầng hai so với mặt sàn tầng một là:  0, 18. 21= 3,78  (m)

Độ cao tầng hai so với mặt sàn của sân là h = 0,5 + 3,78 = 4,28m

Vậy ta có độ cao tầng 2 bằng 4,28m

Đáp án B

Chọn D

Ta giải hệ: 

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\ u_1+u_1+5d=17\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+2d=10\\ 2u_1+5d=17\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=16\\ d=-3\end{array}\right.\end{array}$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_7-u_3=8\\ u_2{u}_7=75\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+ 6d- u_1- 2d= 8\\ (u_1+\hspace{0.17em}d). (u_1+\hspace{0.17em}6d) = 75\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4d= 8\\ u_1^2+7u_{1}d+\hspace{0.17em}6d^2 = 75\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}d = 2\\ u_1^2+ 14u_1+\hspace{0.17em}24 = 75\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow u_1= 3; u_1= -17 \end{gathered}$$

Vì $u_1>\hspace{0.17em}0$nên $u_1= 3$

Chọn B

Chọn A

Gọi d=2a là công sai. Bốn số phải tìm là:

A=(x-3a); B=(x-a); C=(x+a); D=(x+3a).

Tổng số đo  4 góc của 1 tứ giác  bằng ${360}^0$

Ta có hệ phương trình:

$\iff \left\{\begin{array}{l}4x = {360}^0\\ x+\hspace{0.17em}3a = 5x - 15a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = {90}^0\\ 4x = 18a\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x = {90}^0\\ a = {20}^0\end{array}\right.\right.$

Số đo góc nhỏ nhất là :  90 - 3.20 = 30

Chọn A

Nếu xen 4 số vào giữa hai số để được một cấp số cộng thì cấp số cộng đó có 6 số hạng.

Theo đầu bài

Ta có: $u_1=4;u_6=40$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 40=4+5.d\\ \Rightarrow d=7,2\end{array}$

Vậy 4 số thêm vào là:11,2; 18,4; 25,6; 32,8

Tổng 4 số đó là:  11, 2+ 18,4+ 25,6 + 32,8 = 88

Chọn C

Số cây mỗi hàng lập thành cấp số cộng. 

Trong đó,  $u_1 = 1, d = 1$

Tổng số cây trồng theo kiểu trên là

$$\begin{gathered} S_n= \frac{n.[2. 1+\hspace{0.17em}(n-1).1]}{2}= 3003 \\ \iff \frac{n. (n+\hspace{0.17em}1)}{2}= 3003\iff n^2+ n - 6006= 0 \\ \Rightarrow n = 77 \end{gathered}$$

Chọn B

Gọi $u_n$ là giá của mét khoan thứ n.

Ta thấy ($u_n$) lập thành cấp số cộng với $u_1= 8000; d = 500$

Do đó, giá khi khoan 20 m là 

$S_{20}=20. \frac{2.8000 +\hspace{0.17em}(20- 1). 500}{2}= 255 000$

Chọn  C

Theo đề bài ta có:

Cộng vế với vế các phương trình của hệ ta được:

Chọn B

Vì ba nghiêm phân biệt $x_1,x_2,x_3$  lập thành một cấp số cộng nên ta đặt : $x_1=x_0-d,x_2=x_0,x_3=x_0+d(d\ne 0)$

Theo giả thiết Ta có: x3+3x2 – (24+m)x – 26- n= (x – x1)(x-x2)(x-x3)

=(x-xo+d)(x-xo)(x-xo-d)= x3 – 3xox2+ (3xo2-d2)x-xo3+ xod2 với mọi x.

Đồng nhất hai vế ta được:

Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành một cấp số cộng

Chọn B.

Điều cần cần:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:$x_1+x_3=2x_2,$

Lại có : 

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}=3\\ \Rightarrow x_2=1\end{array}$

Thay vào phương trình ta được: 1³ – 3.1² – 9.1 + m =0

$\iff m=11$

* Điều kiện đủ : Với m =11 phương trình trở thành :

$x^3-3x^2-9x+11=0$

$\begin{array}{l}\iff \left(x-1\right)\left(x^2-2x-11\right)=0\\ \iff x_1=1-\sqrt{12},\\ x_2=\mathrm{1,}\\ x_3=1+\sqrt{12}\end{array}$

Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.

Vậy m =11 là giá trị cần tìm.

Chọn B

Đặt $t=x^2,t\ge 0$.

Phương trình trở thành: $t^2-2\left(m+1\right)t+2m+1=0$         (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt t₂ > t₁ >  0 .

$\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ P>0\\ S>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(m+1\right)}^2-\left(2m+1\right)>0\\ 2m+1>0\\ 2\left(m+1\right)>0\end{array}\iff \right.-\frac{1}{2}<m\ne 0$

Khi đó PT (2) có bốn nghiệm là: $-\sqrt{t_2};-\sqrt{t_1};\sqrt{t_1};\sqrt{t_2}$ 

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1}=-2\sqrt{t_1}\\ -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1}\end{array}\right.\\ \iff \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1}\\ \iff t_2=9t_1\end{array}$

Theo định lý viet thì :$\left\{\begin{array}{c}{t}_1+t_2=2\left(m+1\right)\\ t_1{t}_2=2m+1\end{array}\right.$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{t}_1+9t_1=2\left(m+1\right)\\ t_{1}9t_1=2m+1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}10t_1=2\left(m+1\right)(*)\\ 9t_1^2=2m+1(**)\end{array}\right.\end{array}$.

Từ (*) suy ra:$5t_1=m+\text{}1\iff m=5t_1-1$ thay vào (**) ta được:

$\begin{array}{l}9t_1^2=2(5t_1-1)\text{}+1\\ \iff 9t_1^2-10.t_1+\text{}1=0\\ \iff \left[\begin{array}{c}{t}_1=\frac{1}{9}\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\\ t_1=1\Rightarrow m=4\end{array}\right.\end{array}$

Vậy m = 4 hoặc $m=-\frac{4}{9}$ là những giá trị cần tìm

Chọn C

Ba cạnh a, b, c ( a < b < c) của một tam giác theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu thì:

  $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=c^2\\ a+b+c=3\\ a+c=2b\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=c^2\\ 3b=3\\ a+c=2b\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=c^2\\ b=1\\ a=2b-c=2-c\end{array}\right..\end{array}$

Ta có

$a^2+b^2=c^2\underset{a=2-c}{\overset{b=1}{\to }}{\left(2-c\right)}^2+1=c^2$ 

$\begin{array}{l}\iff -4c+5=0\\ \iff c=\frac{5}{4}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{4}\\ b=1\\ c=\frac{5}{4}\end{array}\right..\end{array}$

Đáp án đúng: C

*Lời giải:

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d= 3 và u₁ =25

Tổng số ghế là 

$\begin{array}{l}{S}_{30}=u_1+u_2+\cdots +u_{30}\\ =\frac{30}{2}\left[2u_1+\text{}(30-1)d\right]\\ =2055\end{array}$

*Phương pháp giải:

- Ta có số ghế của mỗi dãy lập thành theo CSC có số đầu = 25 và mỗi dãy sau hơn dãy trước 3 nên d = 3 . dựa vào công thức CSC ta sẽ tìm ra được tổng số ghế

* Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân:

a) Cấp số cộng:

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu (un) là cấp số cộng, công sai d, công thức truy hồi: un+1 = un + d với $n\in N^{\ast }$

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CSC

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải: - Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­1 và d. Tìm u­1 và d.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi un = un - 1 + d.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k-1; u_k; u_k+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số cộng

Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

b) Cấp số nhân:

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un + 1 = un. q với $n\in N*$.

Số hạng tổng quát.

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Dạng 1. Xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải: Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},\left(q\ne 1\right).$ Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11 

Trắc nghiệm Cấp số cộng (có đáp án 2023) – Toán 11 

Chọn A

Giả sử bốn số hạng đó là $a-3x;a-x;a+x;a+3x$ với công sai là d =2x. Khi đó, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(a-3x\right)+\left(a-x\right)+\left(a+x\right)+\left(a+3x\right)=20\\ {\left(a-3x\right)}^2+{\left(a-x\right)}^2+{\left(a+x\right)}^2+{\left(a+3x\right)}^2=120\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}4a=20\\ 4a^2+20x^2=120\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=5\\ x=\pm 1\end{array}\right.$

Vậy bốn số cần tìm là 2; 4; 6; 8.

Tổng của 2 số hạng đầu tiên là:  2+ 4= 6.

Chọn C

Để a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}b-a=c-b\\ \iff {\left(b-a\right)}^2={\left(c-b\right)}^2\\ \iff b^2-2ab+\text{}{a}^2=c^2-2bc\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}{b}^2\\ \iff a^2-c^2=2ab-2bc\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff a^2+c^2=2c^2+2ab-2bc\\ =2ab+2c\left(c-b\right)\\ =2ab+2c\left(b-a\right)\\ =2ab+2bc-2ac\end{array}$

Chọn B

Ta có: $x^2+\mathrm{1,}x-\mathrm{2,1}-3x$ lập thành cấp số cộng 

$\begin{array}{l}\iff x^2+1+1-3x=2(x-2)\\ \Rightarrow x^2+\text{}2-3x=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2x-4\\ \iff x^2-5x+6=0\\ \iff x=2;x=3\end{array}$

Vậy x = 2; x = 3 là những giá trị cần tìm.