Chọn A.

Xét dãy $\left(u_n\right)$ có dạng: $u_n=a{n}^3+b{n}^2+cn+d$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c+d=-1\\ 8a+4b+2c+d=3\\ 27a+9b+3c+d=19\\ 64a+16b+4c+d=53\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta tìm được: $a=1,b=0,c=-3,d=1$

$\Rightarrow u_n=n^3-3n+1$ là một quy luật.

Số hạng thứ 10: $u_{10}=971$.

Chọn A.

Ta có

$u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{{\left(n+2\right)}^2}$

Chọn B.

Ta có:

$5=5.1$

$10=5.2$

$15=5.3$

$20=5.4$

$25=5.5$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=5n$.

Chọn C.

Ta có:

$8=7.1+1$

$15=7.2+1$

$22=7.3+1$

$29=7.4+1$

$36=7.5+1$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$.

Chọn B.

Ta có:

$0=\frac{0}{0+1}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$

$\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}$

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}$

$\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}$

Suy ra $u_n=\frac{n}{n+1}$.

Chọn D.

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (-2) nên $u_n=\left(-2\right)+2.\left(n-1\right)$.

Chọn A.

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}$ 

$=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}$

$\Rightarrow -11\le u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Chọn B.

Ta có: $u_1=1,u_2=\frac{3}{2},u_3=\frac{17}{6},u_4=\frac{227}{34}$.

Ta chứng minh $u_n>0,\forall n$ bằng quy nạp.

Giả sử $u_n>0$, khi đó:

$2u_n+\frac{1}{2u_n}\ge 2\sqrt{2u_n.\frac{1}{2u_n}}=2$

Nên $u_{n+1}$

$=u_n+\left(2u_n+\frac{1}{2u_n}-2\right)>u_n>0$.

Chọn C.

5 số hạng đầu là $\frac{1}{3_1};\frac{1}{3^2};\frac{1}{3^3};\frac{1}{3^4};\frac{1}{3^5};\mathrm{...}$ nên $u_n=\frac{1}{3^n}$.

Chọn B.

Ta có

$u_n=5+1+2+3+\mathrm{...}+n-1$

$=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}$.

Chọn D.

 Ta có:

$u_{n+1}=u_n+{\left(-1\right)}^{2n}=u_n+1$

$\Rightarrow u_2=2;u_3=3;u_4=4;\mathrm{...}$ Dễ dàng dự đoán được $u_n=n$.

Thật vậy, ta chứng minh được $u_n=n \left(*\right)$  bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với $n=1\Rightarrow u_1=1$. Vậy $\left(*\right)$ đúng với  $n=1$

+ Giả sử $\left(*\right)$ đúng với mọi $n=k\left(k\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, ta có: $u_k=k$. Ta đi chứng minh $\left(*\right)$ cũng đúng với $n=k+1$, tức là: $u_{k+1}=k+1$ 

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $\left(u_n\right)$ ta có:

$u_{k+1}=u_k+{\left(-1\right)}^{2k}=k+1$.

Vậy $\left(*\right)$ đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chọn A.

 Ta có: $u_2=0;u_3=-1;u_4=-2$,.. Dễ dàng dự đoán được $u_n=2-n$ .

Chọn A.

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{5n^2+10n+2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0$ 

nên dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng

Ta có: 

$u_{n+1}-u_n$

$=\frac{1}{\left(n+1\right)+\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0$

Chọn B.

Nên dãy $\left(u_n\right)$ giảm.

Chọn C.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_2=u_1+1^2\\ u_3=u_2+2^2\\ \mathrm{...}\\ u_n=u_{n-1}+{\left(n-1\right)}^2\end{array}\right.$ .

Cộng hai vế ta được

$u_n=1+1^2+2^2+\mathrm{...}+{\left(n-1\right)}^2$

$=1+\frac{n\left(n-1\right)\left(2n-1\right)}{6}$

Chọn A.

 Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_2=u_1+1\\ u_3=u_2+3\\ \mathrm{...}\\ u_n=u_{n-1}+2n-3\end{array}\right.$.

Cộng hai vế ta được

$u_n=2+1+3+5+\mathrm{...}+\left(2n-3\right)$

$=2+{\left(n-1\right)}^2$

Chọn C.

 Ta có:  

$u_1=-\frac{3}{2}; u_2=-\frac{4}{3}; u_3=-\frac{5}{4};\mathrm{...}$

Dễ dàng dự đoán được $u_n=-\frac{n+1}{n}$.

Chọn B.

 Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_2=u_1-2\\ u_3=u_2-2\\ \mathrm{...}\\ u_n=u_{n-1}-2\end{array}\right.$.

Cộng hai vế ta được

$u_n=\frac{1}{2}-2-\mathrm{2...}-2$

$=\frac{1}{2}-2\left(n-1\right)$.

Chọn A.

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=u_{n+1}-u_n$

$=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0\Rightarrow$dãy $\left(u_n\right)$ tăng.

Chọn C.

Ta có:

$u_1=0;u_2=\frac{1}{2};u_3=\frac{2}{9}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.\Rightarrow$Dãy số không tăng không giảm.

Chọn A.

Ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{-u_n}{u_n+1}<0,\forall n$ nên dãy $\left(u_n\right)$ là dãy giảm