Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

Đáp án đúng: C

*Lời giải:

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d= 3 và u₁ =25

Tổng số ghế là 

$\begin{array}{l}{S}_{30}=u_1+u_2+\cdots +u_{30}\\ =\frac{30}{2}\left[2u_1+\text{}(30-1)d\right]\\ =2055\end{array}$

*Phương pháp giải:

- Ta có số ghế của mỗi dãy lập thành theo CSC có số đầu = 25 và mỗi dãy sau hơn dãy trước 3 nên d = 3 . dựa vào công thức CSC ta sẽ tìm ra được tổng số ghế

* Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân:

a) Cấp số cộng:

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu (un) là cấp số cộng, công sai d, công thức truy hồi: un+1 = un + d với $n\in N^{\ast }$

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó:  $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_n=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CSC

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp giải: - Dãy số (un) là một cấp số cộng khi và chỉ khi un + 1 – un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai của cấp số cộng đó.

- Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­1 và d. Tìm u­1 và d.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: un = u1 + (n – 1)d hoặc công thức truy hồi un = un - 1 + d.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Chứng minh cấp số cộng

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_k-1; u_k; u_k+1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số cộng

Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức:

$$\begin{gathered} S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n \\ =\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2} \end{gathered}$$

b) Cấp số nhân:

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un + 1 = un. q với $n\in N*$.

Số hạng tổng quát.

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Dạng 1. Xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải: Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải: Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},\left(q\ne 1\right).$ Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số cộng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11 

Trắc nghiệm Cấp số cộng (có đáp án 2023) – Toán 11