Giải SBT Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.49 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng $k:\left\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=2-4t\end{array}\right.$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là

A. trùng nhau;

B. song song;

C. cắt nhau nhưng không vuông góc;

D. vuông góc.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng $k:\left\{\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=2-4t\end{array}\right.$ có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{n_d}=(4;3)$ ,$\overrightarrow{u_k}=(3;-4)$

Do đó, đường thẳng k có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_k}=(4;3)$ .

Do đó, $\overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{n_k}$  nên d và k hoặc song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm $\left(1;-\frac{2}{3}\right)$  thuộc đường thẳng d.

Thay x = 1, y = $-\frac{2}{3}$  vào phương trình tham số của đường thẳng k ta có:

$\left\{\begin{array}{c}1=-1+3t\\ -\frac{2}{3}=2-4t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{2}{3}\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Do đó, $\left(1;-\frac{2}{3}\right)$  cũng thuộc vào đường thẳng k

Vậy d và k trùng nhau.

Bài 7.50 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm M(8; 0) và có tiêu cự bằng 6 là

A. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$ ;

B. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$ ;

C. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{73}=1$ ;

D. $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{55}=1$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  với a > b > 0

Elip (E) đi qua điểm M(8; 0) nên ta có:

$\frac{8^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$ ⇔ a² = 8² = 64

Mà tiêu cự là 2c = 6 ⇔ c = 3

Ta có: $c^2=a^2-b^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2=64-3^2=55$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{55}=1$ .

Bài 7.51 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm I(1; – 1) và đường thẳng d: x – y + 2 = 0. Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là

A. (x – 1)² + (y + 1)² = 4;

B. (x + 1)² + (y – 1)² = 4;

C. (x – 1)² + (y + 1)² = 8;

D. (x + 1)² + (y – 1)² = 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d nên ta có bán kính

R = d(I, d) = $\frac{\left|1-(-1)+2\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

(x – 1)² + (y + 1)² = ( $2\sqrt{2}$)²

⇔ (x – 1)² + (y + 1)² = 8.

Bài 7.52 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Phương trình đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là $\sqrt{2}$  là

A. x + y + 1 = 0 và x + y + 3 = 0;

B. x – y – 1 = 0;

C. x – y + 3 = 0;

D. x – y + 3 = 0 và x – y – 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: (không có đáp án phù hợp)

Phương trình đường thẳng song song với d có dạng là: d’: x – y + c = 0  với c ≠ 3

Chọn điểm A(1; 4) thuộc đường thẳng d

Do d’ // d và d’ cách d một khoảng là $\sqrt{2}$  nên ta có:

d(A, d’) = $\sqrt{2}$

$\iff \frac{\left|1-4+c\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}=\sqrt{2}$

⇔ |c – 3| = 2 (*)

TH1: c – 3 ≥ 0 hay c ≥ 3

(*) ⇔ c – 3 = 2 ⇔ c = 5 (thỏa mãn)

TH2: c – 3 < 0 hay c < 3

(*) ⇔ –c + 3 = 2 ⇔ c = 1  (thỏa mãn)

Với c = 5 ta có, d’:  x – y + 5 = 0.

Với c = 1 ta có, d’: x – y + 1 = 0.

Bài 7.53 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–3; 2) và vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right).$ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận $\overrightarrow{u}$  là một vectơ chỉ phương.

Lời giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(–3; 2)và nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right)$

là một vectơ chỉ phương là $\left\{\begin{array}{c}x=-3+2.t\\ y=2+(-5).t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=-3+2t\\ y=2-5t\end{array}\right.$ .

Bài 7.54 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm N(2; –1) và vectơ $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$ .Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận $\overrightarrow{n}$  là một vectơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận $\overrightarrow{n}$  là một vectơ pháp tuyến là:

3(x – 2) – 1(y + 1) = 0

⇔ 3x – y – 6 – 1 = 0

⇔ 3x – y – 7 = 0.

Bài 7.55 trang 49 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC với A(1; –1), B(3; 5), C(–2; 4).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC.

Lời giải:

a)

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;6\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB nên vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của AB.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; –1) và nhận $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$  là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-1+3t\end{array}\right.$ .

b)

Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{BC}=\left(5;1\right)$  là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 1(y + 1) = 0

⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0

⇔ 5x + y – 4 = 0.

c)

Đường thẳng BC nhận vectơ $\overrightarrow{BC}=\left(-5;-1\right)$ là một vectơ chỉ phương nên BC nhận $\overrightarrow{n\text{'}}=\left(1;-5\right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình đường thẳng BC là:

1(x – 3) – 5(y – 5) = 0

⇔ x – 3 – 5y + 25 = 0

⇔ x – 5y + 22 = 0.

Khoảng cách từ điểm A(1; –1) đến đường thẳng BC là

$d\left(A,BC\right)=\frac{\left|1-5.\left(-1\right)+22\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{14\sqrt{26}}{13}$.

d)

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng AB và AC có hai vectơ chỉ phương lần lượt là:$\overrightarrow{AB}=\left(2;6\right),\overrightarrow{AC}=\left(-3;5\right).$

Khi đó

$\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{\left|2.\left(-3\right)+6.5\right|}{\sqrt{2^2+6^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+5^2}}=\frac{6}{\sqrt{85}}$

Do α là góc giữa hai đường thẳng nên sinα > 0.

Lại có sin²α + cos²α = 1.

$\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{7}{\sqrt{85}}$.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 48 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 50 Tập 2