Chứng minh rằng nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’

Giải Toán 11 Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Video Giải Bài tập 3 trang 24 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 24 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Lời giải:

Gọi phép dời hình đó là f.

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do f  biến AB, AC thành A’B’, A’C’ nên f biến M, N thành M’, N’ là trung điểm của của A’B’, A’C’

Vậy f biến các trung tuyến CM, BN của tam giác ABC tương ứng thành các trung tuyến C’M’, B’N’ của tam giác A’B’C’.

Do đó f biến G là giao điểm của CM, BN thành G' là giao điểm của C’M’, B’N’ hay G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Từ đó suy ra f biến trọng tâm G của tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’.

Cách khác:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

B, D, C thẳng hàng suy ra B’, D’, C’ thẳng hàng.

A, G, D thẳng hàng suy ra A’, G’, D’ thẳng hàng.

$B’D’=BD=\frac{BC}{2}=\frac{B’C’}{2}$  suy ra D’ là trung điểm B’C’.

$A’G’=AG=2.\frac{AD}{3}=2.\frac{A’D’}{3}$ suy ra G’ là trọng tâm $\Delta A’B’C’$.

Vậy phép dời hình f  biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của $\Delta A’B’C’$ (điều phải chứng minh).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 20 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm ảnh của các điểm A , B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O...

Hoạt động 2 trang 21 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy chứng minh tính chất 1. Gợi ý sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và C...

Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Hình học: Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép dời hình F...

Hoạt động 4 trang 22 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH (h.1.46)...

Hoạt động 5 trang 23 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau...

Bài tập 1 trang 23 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3)...

Bài tập 2 trang 24 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau...