Đáp án: C

Giải thích:

Trong các phát biểu ở ý A, B, và D đều đúng.

Ý C sai vì: trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

Đáp án: D

Giải thích:

Vì OH là đường vuông góc và OM, ON là đường xiên nên $\mathrm{OH}<\mathrm{OM}$; $\mathrm{OH}<\mathrm{ON}$(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Vì M nằm giữa hai điểm H và N nên $\mathrm{HM}<\mathrm{HN}$ suy ra $\mathrm{OM}<\mathrm{ON}$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

$△\mathrm{OHM}$ vuông tại H nên $\widehat{\mathrm{HMO}}$ là góc nhọn hay $\widehat{\mathrm{HMO}}<90°$

Mặt khác: $\widehat{\mathrm{HMO}}+\widehat{\mathrm{OMN}}=180°$ (hai góc kề bù)

$\text{⇒}\widehat{\mathrm{OMN}}>180°-90°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{OMN}}>90°$ hay $\widehat{\mathrm{OMN}}$ là góc tù

Xét $△\mathrm{OMN}$ có $\widehat{\mathrm{OMN}}$ là góc tù nên $\widehat{\mathrm{OMN}}>\widehat{\mathrm{MNO}}$

Vậy đáp án D sai

Đáp án: D

Giải thích:

Kẻ tia phân giác Ot của $\widehat{\mathrm{xOy}}$ nên $\widehat{\mathrm{xOt}}=\widehat{\mathrm{yOt}}=\frac{\widehat{\mathrm{xOy}}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$

Gọi I là giao của Ot và AB; H, K lần lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot

Xét $△\mathrm{OAH}$ có $\widehat{\mathrm{AOH}}=30°$ nên $\mathrm{OA}=2\mathrm{AH}$.

Vì AH, AI lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ A đến Ot nên $\mathrm{AH}\le \mathrm{AI}$ do đó $\mathrm{OA}\le 2\mathrm{AI}$ (1)

Xét $△\mathrm{OBK}$ có $\widehat{\mathrm{BOK}}=30°$ nên $\mathrm{OB}=2\mathrm{BK}$.

Vì BK, BI lần lượt là đường vuông góc, đường xiêm kẻ từ B đến Ot nên $\mathrm{BK}\le \mathrm{BI}$ do đó $\mathrm{OB}\le 2\mathrm{BI}$ (2)

Từ (1) và (2) theo vế với vế ta được:

$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}\le 2\mathrm{AI}+2\mathrm{BI}=2\left(\mathrm{AI}+\mathrm{BI}\right)=2\mathrm{AB}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ lhi H, I, K  trùng nhau hay $\mathrm{AB}\perp \mathrm{Ot}$ nên $\widehat{\mathrm{AIO}}=\widehat{\mathrm{BIO}}=90°$

Xét $△\mathrm{OAI}$ và $△\mathrm{OBI}$ có:

$\widehat{\mathrm{AIO}}=\widehat{\mathrm{BIO}}=90°$

OI cạnh chung

$\widehat{\mathrm{AOI}}=\widehat{\mathrm{BOI}}$ (vì Ot là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$)

$\Rightarrow △\mathrm{OAI}=△\mathrm{OBI}\left(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{OA}=\mathrm{OB}$(hai cạnh tương ứng)

Vậy $\mathrm{OA}+\mathrm{OB}=2\mathrm{AB}$ hay $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH; CH là hai hình chiếu

Khi đó:

+ Nếu $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$ thì $\mathrm{BH}<\mathrm{HC}$ (A đúng)

+ Nếu $\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$ thì $\mathrm{BH}>\mathrm{HC}$ (B sai)

+ Nếu $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ thì $\mathrm{BH}=\mathrm{HC}$ (C đúng)

+ Nếu $\mathrm{BH}>\mathrm{HC}$ thì $\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$ (D đúng)

* Phương pháp giải:

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

* Lý thuyết cần nắm thêm về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: 

1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

Trong hình trên đây:

+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

Toán 7 Bài 2 giải bài tập: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên; đường xiên và hình chiếu 

Đáp án: C

Giải thích:

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Đáp án: D

Giải thích:

Vì MH là đường vuông góc và MA là đường xiên $\mathrm{MA}>\mathrm{MH}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên). Đáp án A đúng nên loại A

Vì $\widehat{\mathrm{MBC}}$ là góc ngoài của $△\mathrm{MHB}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MBC}}>\widehat{\mathrm{MHB}}=90°$

Xét $△\mathrm{MBC}$ có: $\widehat{\mathrm{MBC}}$ là góc tù nên suy ra $\mathrm{MB}>\mathrm{MC}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và cạnh trong tam giác

Mà HB và HC lần lượt là hình chiếu của MB và MC trên AC

$\Rightarrow \mathrm{HB}<\mathrm{HC}$(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Đáp án B đúng nên loại đáp án B

Vì $\mathrm{AH}=\mathrm{HB}\left(\mathrm{gt}\right)$ mà AH và HB lần lượt là hai hình chiếu của AM và BM

$\Rightarrow \mathrm{MA}=\mathrm{MB}$(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Đáp án C đúng nên loại đáp án C

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{MB}=\mathrm{MA}\left(\mathrm{cmt}\right)\\ \mathrm{MC}>\mathrm{MB}\left(\mathrm{cmt}\right)\end{array}\Rightarrow \mathrm{MC}>\mathrm{MA}\right.$.

Đáp án D sai nên chọn đáp án D

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $\hat{\mathrm{B}}>\hat{\mathrm{C}}\left(\mathrm{gt}\right)\Rightarrow \mathrm{AC}>\mathrm{AB}$ (1) (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà HB, HC tương ứng hình chiếu của AB,AC trên BC

$\Rightarrow \mathrm{HB}<\mathrm{HC}$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Đáp án: A

Giải thích:

Vì M nằm giữa B và H $\Rightarrow \mathrm{HM}<\mathrm{HB}$

Mà HM và HB tương ứng là hình chiếu của AM và AB trên BC

$\Rightarrow \mathrm{AM}<\mathrm{AB}$ (2) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì N thuộc tia đối của tia CB thì suy ra $\mathrm{HN}>\mathrm{HC}$. Mà HN và HC tương ứng là hình chiếu của AN và AC trên BC $\Rightarrow \mathrm{AC}<\mathrm{AN}$ (3) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \mathrm{AM}<\mathrm{AB}<\mathrm{AN}$

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}\left(\mathrm{gt}\right)\\ \mathrm{EC}\perp \mathrm{AB}\left(\mathrm{gt}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ BD và CE lần lượt là hai đường vuông góc của hai đường xiên AC và AB 

$\text{⇒}\left\{\begin{array}{l}BD<AB\\ EC<AC\end{array}\right.$(đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

$\Rightarrow \mathrm{BD}+\mathrm{CE}<\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi E là giao điểm BD và AC, kẻ $\mathrm{AP}\perp \mathrm{BD}$

Gọi $\mathrm{AD}=\mathrm{AB}$ (gt) mà PD và BP lần lượt là hình chiếu của AB và AB trên BE

$\Rightarrow \mathrm{PD}=\mathrm{BP}$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Do $\mathrm{PE}>\mathrm{PD}=\mathrm{PB}$ nên $\mathrm{AE}<\mathrm{AD}$ (1).

Mặt khác, $\mathrm{AC}>\mathrm{AE}$ (2) nên từ (1) và (2)

$\Rightarrow \mathrm{AC}>\mathrm{AB}$

Đáp án: B

Giải thích:

Vì BD và BC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ B đến AC nên $\mathrm{BD}<\mathrm{BC}$(1)

Vì CE và BC lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ C đến AB nên $\mathrm{CE}<\mathrm{BC}$(2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$\mathrm{BD}+\mathrm{CE}<\mathrm{BC}+\mathrm{BC}$ hay $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}<2\mathrm{BC}$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\mathrm{BM}=\mathrm{BC}\left(\mathrm{gt}\right)\Rightarrow △\mathrm{BMC}$ cân tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MCB}}=\widehat{\mathrm{CMB}}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Lại có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{BCM}}+\widehat{\mathrm{MCA}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=90°\left(\mathrm{gt}\right)\\ \widehat{\mathrm{CMH}}+\widehat{\mathrm{MCH}}=90°\left(\mathrm{gt}\right)\end{array}\right.$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{MCH}}=\widehat{\mathrm{MCN}}$

Xét $△\mathrm{MHC}$ và $△\mathrm{MNC}$ có:

MC chung

$\widehat{\mathrm{MCH}}=\widehat{\mathrm{MCN}}\left(\mathrm{cmt}\right)$

NC = HC (gt)

$\Rightarrow △\mathrm{MHC}=△\mathrm{MNC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MNC}}=\widehat{\mathrm{MHC}}=90°$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \mathrm{MN}\perp \mathrm{AC}$ nên A đúng

Xét $△\mathrm{AMN}$ có AN là đường vuông góc hạ từ A xuống MN và AM là đường xiên nên suy ra $\mathrm{AM}>\mathrm{AN}$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{BM}=\mathrm{BC}\left(\mathrm{gt}\right)\\ \mathrm{HC}=\mathrm{CN}\left(\mathrm{gt}\right)\\ \mathrm{AM}>\mathrm{AN}\left(\mathrm{cmt}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{BM}+\mathrm{MA}+\mathrm{HC}>\mathrm{BC}+\mathrm{CN}+\mathrm{NA}$

Đáp án: D

Giải thích:

Từ B kẻ BH vuông góc với AC, vì $\widehat{\mathrm{BAC}}$ là góc tù nên H nằm ngoài đoạn thẳng AC

Khi đó BA, BN, BC là đường xiên kẻ từ B đến AC, HA, HN, HC lần lượt là các hình chiếu của BA, BN, BC trên AC

Ta có: $\mathrm{HA}<\mathrm{HN}<\mathrm{HC}$ nên $\mathrm{BA}<\mathrm{BN}<\mathrm{BC}$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ C kẻ CK vuông góc với AC, vì $\widehat{\mathrm{BAC}}$ là góc tù nên K nằm ngoài đoạn thẳng AB

Khi đó CA, CM, CB à các đường xiên kẻ từ C đém AB, AK, KM, KB lần lượt là các hình chiếu của CA, CM, CB trên AB

Ta có: $\mathrm{KA}<\mathrm{KM}<\mathrm{KB}$ nên $\mathrm{CA}<\mathrm{CM}<\mathrm{CB}$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Đáp án: A

Giải thích:

$△\mathrm{ABM}$ vuông tại A (gt) nên $\mathrm{BA}<\mathrm{BM}$ (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Mà $\mathrm{BM}=\mathrm{BD}+\mathrm{DM}\Rightarrow \mathrm{BA}<\mathrm{BD}+\mathrm{DM}$ (1)

Mặt khác: $\mathrm{BM}=\mathrm{BE}-\mathrm{ME}\Rightarrow \mathrm{BA}<\mathrm{BE}-\mathrm{ME}$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được:

$2\mathrm{AB}<\mathrm{BD}+\mathrm{BE}+\mathrm{MD}-\mathrm{ME}$(3)

Vì M là trung điểm của AC (gt) $\Rightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{MC}$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông CEM có

AM = MC (cmt)

$\widehat{\mathrm{ADM}}=\widehat{\mathrm{EMC}}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow △\mathrm{ADM}=△\mathrm{CEM}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{MD}=\mathrm{ME}$ (hai cạnh tương ứng)(4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \mathrm{BD}+\mathrm{BE}>2\mathrm{AB}$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì MB là đường vuông góc và MA, MC là đường xiên nên $\mathrm{MA}>\mathrm{MB}; \mathrm{MC}>\mathrm{MB}$(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

Đáp án: B

Giải thích:

Vì D nằm giữa A và B nên suy ra $\mathrm{AD}<\mathrm{AB}$. Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của ED và EB trên AB $\Rightarrow \mathrm{ED}<\mathrm{EB}$ (1) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì E nằm giữa A và C nên suy ra $\mathrm{AE}<\mathrm{AC}$. Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của EB và BC trên  $\mathrm{AC}\Rightarrow \mathrm{EB}<\mathrm{BC}$ (2) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Từ (1), (2) $\Rightarrow \mathrm{ED}<\mathrm{EB}<\mathrm{BC}$

Đáp án: D

Giải thích:

Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH; CH là hai hình chiếu

Khi đó:

+ Nếu $\mathrm{BH}<\mathrm{HC}$ thì $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$

+ Nếu $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$ thì $\mathrm{BH}<\mathrm{HC}$

+ Nếu $\mathrm{BH}=\mathrm{HC}$ thì $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

Nên A, B, C đều đúng

Đáp án: D

Giải thích:

Vì M là trung điểm AC (gt) $\Rightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{MC}$ (tính chất trung điểm)

Xét tam giác ADM và tam giác CEM có:

AM = MC (cmt)

$\widehat{\mathrm{ADM}}=\widehat{\mathrm{EMC}}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow △\mathrm{ADM}=△\mathrm{CEM}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{CE}$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $△\mathrm{ABD}$ vuông tại D nên $\mathrm{AD}<\mathrm{AB}$

$\Rightarrow 2\mathrm{AD}<2\mathrm{AB}\Rightarrow \mathrm{AD}+\mathrm{AD}<2\mathrm{AB}$ hay $\mathrm{AD}+\mathrm{CE}<2\mathrm{AB}$ (A đúng)

$△\mathrm{ADM}$ vuông tại D nên $\mathrm{AD}<\mathrm{AM}$ (1)

$△\mathrm{CEM}$ vuông tại E nên $\mathrm{EC}<\mathrm{CM}$ (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$\mathrm{AD}+\mathrm{EC}<\mathrm{AM}+\mathrm{CM}$ hay $\mathrm{AD}+\mathrm{EC}<\mathrm{AC}$ (B đúng)

Vậy A, B đều đúng

Đáp án: C

Giải thích:

Vì BH là đường vuông góc và AH là đường xiên nên $\mathrm{AH}>\mathrm{BH}$