Đáp án: A

Giải thích:

Các bước dựng hình:

b. Dựng góc nhon xOy

a. Dựng cung tròn tâm A có bán kính R

d. Dựng cung tròn tâm B bán kính R cắt đường tròn tâm A bán kính R tại một điểm M nằm trong góc xOy.

c. Vẽ tia OM, đó là tia phân giác của góc xOy cần dựng

Vậy sắp xếp đúng b, a, d, c

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải bài toán trên là:

b. Gọi MA và MB theo thứ tự là khoảng cách từ M đến Ox và Oy

c. Xét hai tâm giác vuông OMA và OMB có:

$\widehat{\mathrm{OAM}}=\widehat{\mathrm{OBM}}=90°$

OM là cạnh chung

MA=MB (gt)

a. $\Rightarrow △\mathrm{OAM}=△\mathrm{OMB}\left(\mathrm{ch}-\mathrm{cgv}\right)$

d. Suy ra: $\widehat{\mathrm{MOA}}=\widehat{\mathrm{MOB}}$ (hai góc tương ứng)

e. Vậy OM là tia phân giác của 

Vậy cách sắp xếp đúng là b – c – a – d – e

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hai tâm giác vuông OMH và OMK có:

$\widehat{\mathrm{OHM}}=\widehat{\mathrm{OKM}}=90°$

OM là cạnh chung

$\widehat{\mathrm{HOM}}=\widehat{\mathrm{KOM}}$ (gt)

$\Rightarrow △\mathrm{OMH}=△\mathrm{OMK}\left(\mathrm{ch}-\mathrm{cgv}\right)$

Suy ra: $\widehat{\mathrm{OMH}}=\widehat{\mathrm{OMK}}$ (hai góc tương ứng)

Vậy MO là tia phân giác của góc HMK

Ta có MH = MK nên M thuộc trung trực của HK

OH = OK nên O thuộc trung trực của HK

Khi đó MO là trung trực của HK.

Đáp án: B

Giải thích:

Vì E là điểm nằm trên tia phân giác của góc A của tam giác ABC nên điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABC, có CD và BE cắt nhau tại I

Suy ra AI là phân giác của góc A.

Đáp án: B

Giải thích:

Giao điểm ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác là phát biểu đúng.

Đáp án: A

Giải thích:

Vì I là giao của ba đường phân giác của tam giác nên BI là đường phân giác của $△\mathrm{ABC}$

Vì G là trọng tâm $△\mathrm{ABC}$ nên BG là đường trung tuyên của  mà B; I; G thẳng hàng

Do đó BI là đường trung tuyến của $△\mathrm{ABC}$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: BI là đường trung tuyến đồng thời của

Suy ra $△\mathrm{ABC}$ cân tại B

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi Ax là tia đối của tia AB. Ta có: $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{DAC}}=60°$ nên $\widehat{\mathrm{CAx}}=60°$

Xét  có AE là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A, BE là tia phân giác cả góc B và chúng cắt nhau tại E nên DE là tia phân giác góc ngoài của góc D

Mà $\widehat{\mathrm{EDC}}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BED nên

$\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{\mathrm{BED}}=\widehat{\mathrm{EDC}}$

Do đó:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BED}}=\widehat{{\mathrm{D}}_1}-\widehat{{\mathrm{B}}_1} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{ADC}}-\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}=\frac{\widehat{\mathrm{BAD}}}{2}=30° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Kéo dài AC lấy điểm sao cho $\mathrm{CM}=\mathrm{AC}$, kéo dài AD cắt BM tại H

Vì AD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAM}}$ nên $\widehat{\mathrm{BAM}}=\widehat{\mathrm{HAM}}=\frac{\widehat{\mathrm{BAM}}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét có: BC là đường trung tuyến ứng với cạnh AM, $\mathrm{BD}=2\mathrm{DC}$ (gt)

Do đó D là trọng tâm $△\mathrm{ABM}$

Suy ra AD là đường trung tuyến của $△\mathrm{ABM}$

Xét $△\mathrm{ABM}$ có AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác

Do đó $△\mathrm{ABM}$ cân tại A $\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{AMB}}$ (tính chất tam giác cân)

Trong $△\mathrm{ABM}$ có $\widehat{\mathrm{BAM}}+\widehat{\mathrm{ABM}}+\widehat{\mathrm{AMB}}=180°$

(định lí tổng ba góc của tam giác)

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BAM}}+2.\widehat{\mathrm{ABM}}=180° \\ \Rightarrow \frac{\widehat{\mathrm{BAM}}}{2}+\widehat{\mathrm{ABM}}=90° \end{gathered}$$

Hay $\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{ABH}}=90°$

Xét $△\mathrm{ABH}$ có:

$\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{AHB}}=180°$

(định lí tổng ba góc của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AHB}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{ABH}}\right)=180°-90°=90°$

$\text{⇒AH⊥BM}$ hay $\text{AD⊥BM}$

Xét $△\mathrm{ACE}$ và $△\mathrm{MCB}$ có:

AC = CM

BC = CE (gt)

$\widehat{\mathrm{ACE}}=\widehat{\mathrm{MCB}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow △\mathrm{ACE}=△\mathrm{MCB}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AEC}}=\widehat{\mathrm{MBC}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{AEC}}; \widehat{\mathrm{MBC}}$ ở vị trí so le trong

$\Rightarrow \mathrm{AE}\parallel \mathrm{BM}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà $\mathrm{AD}\perp \mathrm{BM}\Rightarrow \mathrm{AD}\perp \mathrm{AE}$ (quan hệ từ vuông góc tới song song)

Do đó $△\mathrm{ADE}$ vuông tại A

Đáp án: B

Giải thích:

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Đáp án: A

Giải thích:

Kẻ $\mathrm{ID}\perp \mathrm{BC}; \mathrm{IE}\perp \mathrm{AC}; \mathrm{IF}\perp \mathrm{AB}$

Tam giác ABC có các đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$ và $\widehat{\mathrm{ACB}}$ cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì BI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ nên $\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $△\mathrm{BFI}$ vuông tại F và $△\mathrm{BDI}$ vuông tại D có:

$\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (cmt)

BI cạnh chung

$\Rightarrow △\mathrm{BFI}=△\mathrm{BDI}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{BF}=\mathrm{BD}$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $\mathrm{AF}=\mathrm{AE}; \mathrm{CE}=\mathrm{CD}$

Trên đoạn DC lấy điểm G sao cho $\text{BD=DG}$

Xét $△\mathrm{BDI}$ vuông tại D và $△\mathrm{GDI}$ vuông tại D có:

BD = DG (theo cách vẽ)

DI là cạnh chung

$\Rightarrow △\mathrm{BDI}=△\mathrm{GDI}$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \mathrm{IB}=\mathrm{IG}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow △\mathrm{IBG}$là tam giác cân tại I

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{\mathrm{IGB}}$ (Tính chất tam giác cân)(1)

Ta có: $\widehat{\mathrm{ABC}}=2\widehat{\mathrm{ACB}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra $\widehat{\mathrm{IGB}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IG//AC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó: $\widehat{{\mathrm{C}}_2}=\widehat{\mathrm{GIC}}$ (hai góc so le trong)

Mặt khác $\widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}$ (do CI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$)

$\widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{\mathrm{GIC}}\Rightarrow △\mathrm{GIC}$ cân tại D $\Rightarrow \mathrm{IG}=\mathrm{GC}$ (định nghĩa tam giác cân)

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{AC}=\mathrm{AE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AF}+\mathrm{AC} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AF}+\mathrm{DG}+\mathrm{GC} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AF}+\mathrm{DB}+\mathrm{GC} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AF}+\mathrm{BF}+\mathrm{IB} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{IB} \end{gathered}$$