Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác CHK có $\widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}=180°$ (1)

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác DHK có $\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}}=180°$ (2)

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}+\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}} \\ =180°+180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}+\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}} \\ =360° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{DHC}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKC}}=360° \end{gathered}$$

Mà $\widehat{\mathrm{DHC}}=90°; \widehat{\mathrm{DKC}}=90°$; $\widehat{\mathrm{HCK}}=44°$

Suy ra: $\widehat{\mathrm{HDK}}=360°-90°-90°-44°=136°$

Đáp án: C

Giải thích:

Trực tâm của tam giác là giao của ba đường cao.

Đáp án: C

Giải thích:

Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của $△\mathrm{ABC}$ và H là trực tâm của tam giác ABC nên A, B, D sai, C đúng

Đáp án: B

Giải thích:

Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao nên là tam giác cân

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của $△\mathrm{ABC}$ nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow \mathrm{BM}=\frac{\mathrm{BC}}{2}=24:2=12\mathrm{cm}$

Xét $△\mathrm{AMB}$ vuông tại M có: ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BM}}^2$ (Định lí Pytago)

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{AB}}^2={12}^2+5^2=169 \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Vậy AB = AC = 13cm

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A(gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó

Vì AM là trung tuyến của $△\mathrm{ABC}$ nên M là trung điểm của BC

$\Rightarrow \mathrm{BM}=\frac{\mathrm{BC}}{2}=6:2=3\mathrm{cm}$

Xét $△\mathrm{AMB}$ vuông tại M có: ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BM}}^2$ (Định lí Pytago)

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{AB}}^2=4^2+3^2=25 \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Vậy AB = AC = 5cm

Đáp án: D

Giải thích:

Vì tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC.

Đáp án: D

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABD}$ có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_1}=90°$ (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Xét $△\mathrm{AEC}$ có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{C}}_1}=90°$ (trong tam giác vuông2 góc nhọn phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_1}$ (1)

Lại có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}=180°\\ \widehat{{\mathrm{C}}_1}+\widehat{{\mathrm{C}}_2}=180°\end{array}\right.$ (2) (hai góc kề bù)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_2}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}$

Xét $△\mathrm{ABI}$ và $△\mathrm{KCA}$ có:

AB = CK (gt)

$\widehat{{\mathrm{B}}_2}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}$ (cmt)

BI = AC (gt)

$\Rightarrow △\mathrm{ABI}=△\mathrm{KCA}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi I là giao điểm của DH và AC

$△\mathrm{ABC}$ vuông cân tại B(gt) nên $\hat{\mathrm{C}}=45°$

$△\mathrm{HBD}$ có: $\widehat{\mathrm{HBD}}=90°$; $\mathrm{BH}=\mathrm{BD}\left(\mathrm{gt}\right)$ nên $△\mathrm{HBD}$ vuông cân tại B suy ra $\widehat{\mathrm{BDH}}=45°$ hay $\widehat{\mathrm{CDI}}=45°$

Xét $△\mathrm{DCI}$ có: $\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{CDI}}=45° \left(\mathrm{cmt}\right)$ suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{DIC}}=180°-\left(\hat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{CDI}}\right) \\ =180°-\left(45°+45°\right)=90° \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{DH}\perp \mathrm{AC}$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi I là giao điểm của DH và AC

Sử dụng kết quả câu trước ta có: $\text{DI⊥AC}$

Xét $△\mathrm{ADC}$ có: $\mathrm{AB}\perp \mathrm{DC}$; $\mathrm{DI}\perp \mathrm{AC}$ nên H là trực tâm của $△\mathrm{ADC}$

Suy ra CK là đường cao thứ ba của $△\mathrm{ADC}$ hay $\mathrm{CK}\perp \mathrm{AD}$

Do đó $\widehat{\mathrm{CKA}}=90°$

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tam giác ABC đều cạnh $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ tại M

Ta có: $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{BC}}{2}=\frac{\mathrm{a}}{2}$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AM}}^2={\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{MC}}^2 \\ ={\mathrm{a}}^2-{\left(\frac{\mathrm{a}}{2}\right)}^2={\mathrm{a}}^2-\frac{{\mathrm{a}}^2}{4}=\frac{3{\mathrm{a}}^2}{4} \end{gathered}$$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là $\frac{3{\mathrm{a}}^2}{4}$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác ABC đều cạnh $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$ có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$ tại M

Ta có: $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{BC}}{2}=\frac{4}{2}=2$

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AM}}^2={\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{MC}}^2 \\ =4^2-2^2=16-4=12 \end{gathered}$$

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là 12

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $\mathrm{Mx}\perp \mathrm{AB}\Rightarrow \widehat{\mathrm{AMx}}=90°$

Xét $△\mathrm{AMC}$ có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{AMC}}=90°\\ \mathrm{MA}=\mathrm{MC} \left(\mathrm{gt}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}=45°$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{\mathrm{DCE}}=\widehat{\mathrm{MCA}}=45°$ (đối đỉnh)

Xét $△\mathrm{BMD}$ có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{BMD}}=90°\\ \mathrm{MB}=\mathrm{MD} \left(\mathrm{gt}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MBD}}=\widehat{\mathrm{MDB}}=45°$ (tính chất tam giác cân)

Xét $△\mathrm{CDE}$ có: $\widehat{\mathrm{CDE}}=\widehat{\mathrm{DCE}}=45°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{CDE}}+\widehat{\mathrm{DCE}}=90°\Rightarrow \widehat{\mathrm{DEC}}=90°$

Lại có: $\widehat{\mathrm{DEC}}+\widehat{\mathrm{AEB}}=180°$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{AEB}}=180°-\widehat{\mathrm{DEC}}=180°-90°=90°$

Đáp án: A

Giải thích:

+) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{HAC}}+\widehat{\mathrm{ACH}}=90°\\ \widehat{\mathrm{HBA}}+\widehat{\mathrm{ACH}}=90°\end{array}\left(\mathrm{gt}\right)\right.$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{HAC}}=\widehat{\mathrm{HBA}}$ (1)

Mặt khác, BI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ và E thuộc BI suy ra

$\widehat{\mathrm{ABE}}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

+) AJ là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{HAC}}$ (gt)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{JAC}}=\frac{\widehat{\mathrm{HAC}}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1)(2)(3) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{JAC}}$

Xét $△\mathrm{ABE}$ có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ABE}}+\widehat{\mathrm{BAE}}=\widehat{\mathrm{JAC}}+\widehat{\mathrm{BAE}} \\ =\widehat{\mathrm{BAC}}=90°\Rightarrow \widehat{\mathrm{AEB}}=90° \end{gathered}$$

$\Rightarrow △\mathrm{AEB}$ vuông tại E

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi K là giao của ED và BC

$△\mathrm{ABC}$ vuông cân tại A(gt) nên $\hat{\mathrm{C}}=45°$

$△\mathrm{ADE}$ có: $\widehat{\mathrm{DAE}}=90°$; $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$ (gt) nên $△\mathrm{ADE}$ vuông cân tại A suy ra $\widehat{\mathrm{AED}}=45°$ hay $\widehat{\mathrm{CEK}}=45°$

Xét $△\mathrm{CEK}$ có: $\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{CEK}}=45°$ (cmt) suy ra:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{EKC}}=180°-\left(\hat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{CEK}}\right) \\ =180°-\left(45°+45°\right)=90° \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{EK}\perp \mathrm{BC}$

Xét $△\mathrm{BCE}$ có: $\mathrm{BA}\perp \mathrm{EC}$; $\mathrm{EK}\perp \mathrm{BC}$ nên D là trực tâm của $△\mathrm{BCE}$

Suy ra CI là đường cao thứ ba của $△\mathrm{BCE}$ hay $\mathrm{CI}\perp \mathrm{BE}$

Do đó $\widehat{\mathrm{BIC}}=90°$

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tam giác CHK có $\widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}=180°$(1)

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Xét tam giác DHK có $\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}}=180°$(2)

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}+\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}} \\ =180°+180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{CHK}}+\widehat{\mathrm{CKH}}+\widehat{\mathrm{HGD}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKH}} \\ =360° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{HCK}}+\widehat{\mathrm{DHC}}+\widehat{\mathrm{DHK}}+\widehat{\mathrm{DKC}}=360° \end{gathered}$$

Mà $\widehat{\mathrm{DHC}}=90°; \widehat{\mathrm{DKC}}=90°$; $\widehat{\mathrm{HCK}}=50°$

Suy ra: $\widehat{\mathrm{HDK}}=360°-90°-90°-50°=130°$

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu $\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$ thì tam giác DAB cân tại D suy ra $\widehat{\mathrm{DBA}}=\widehat{\mathrm{DAB}}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác AHB có $\widehat{\mathrm{ABH}}=90°-\widehat{\mathrm{BAH}}$ (2)

Xét tam giác ABK có: $\widehat{\mathrm{BAK}}=90°-\widehat{\mathrm{ABK}}$ (3)

Từ (1)(2)(3) ta suy ra $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{BAK}}$ hay $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ suy ra tam giác ABC cân tại C

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có BD và CE là đường cao cắt nhau tại I suy ra AI là đường cao của tam giác đó

Mà AI cắt BC tại M nên $\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A (gt) nên AM là đường cao cũng chính là đường trung trực của tam giác đó (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{BM}=\mathrm{MC}$ (tính chất đường trung tuyến)

Vì $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{CE}\perp \mathrm{AB}\\ \mathrm{BD}\perp \mathrm{AC}\end{array}\Rightarrow \widehat{\mathrm{BEC}}=\widehat{\mathrm{BDC}}=90°\right.$

Xét $△\mathrm{BEC}$ có M là trung điểm của BC nên suy ra EM là trung tuyến của $\text{△BEC}$

$\Rightarrow \mathrm{EM}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Xét $△\mathrm{BDC}$ có M là trung tuyến của BC nên suy ra DM là trung tuyến của $△\mathrm{BDC}$

$\Rightarrow \mathrm{DM}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Từ (1)(2) $\Rightarrow \mathrm{EM}=\mathrm{DM}\Rightarrow △\mathrm{EMD}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)