Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B ta có:

${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$

Đáp án: C

Giải thích:

Xét $△\mathrm{MNP}$ có $\hat{\mathrm{M}}+\widehat{\mathrm{MNP}}+\widehat{\mathrm{MPN}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MNP}}+\widehat{\mathrm{MPN}}=180°-\hat{\mathrm{M}} \\ =180°-40°=140° \left(1\right) \end{gathered}$$

Vì  NH là phân giác của $\widehat{\mathrm{MNP}} \left(\mathrm{gt}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{HNP}}=\frac{\widehat{\mathrm{MNP}}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

Vì PK là phân giác của $\widehat{\mathrm{MPN}} \left(\mathrm{gt}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{NPK}}=\frac{\widehat{\mathrm{MPN}}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1)(2) và (3)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{INP}}+\widehat{\mathrm{IPN}}=\frac{\widehat{\mathrm{MNP}}}{2}+\frac{\widehat{\mathrm{MPN}}}{2} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{MNP}}+\widehat{\mathrm{MPN}}}{2}=140°:2=70° \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{INP}}+\widehat{\mathrm{IPN}}=70°$  (*)

Xét $△\mathrm{INP}$ có: $\widehat{\mathrm{INP}}+\widehat{\mathrm{IPN}}+\widehat{\mathrm{NIP}}=180°$ (**) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (*) và (**) 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{NIP}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{INP}}+\widehat{\mathrm{IPN}}\right) \\ =180°-70°=110° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác ABC có $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=60°$ nên tam giác ABC cân tại A.

Mà tam giác này cân có một góc bằng 60⁰ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Đáp án: A

Giải thích:

Gỉa sử tam giác ABC cân tại A có: $\hat{\mathrm{A}}=80°$.

Ta sẽ tìm số đo góc B hoặc góc C

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°-\hat{\mathrm{A}} \end{gathered}$$

Do đó tam giác ABC cân tại A nên $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$. Từ đó suy ra:

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}=\frac{100°}{2}=50°$

Vậy số đo ở đáy là 50⁰.

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-\left(\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}\right) \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-80°-30°=70° \end{gathered}$$

Tam giác ABC có: $\hat{\mathrm{B}}>\hat{\mathrm{A}}>\hat{\mathrm{C}}$ nên áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác suy ra AC > BC > AB

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\mathrm{MN}\perp \mathrm{NP}$ nên MN;NP là các đường cao của tam giác MNP mà hai đường này giao nhau tại N nên N là trực tâm tam giác MNP

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi AM, BN, CE là ba đường trung tuyến của tam giác ABC

$△\mathrm{ABC}$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2\Rightarrow {\mathrm{BC}}^2=5^2+{12}^2=169 \\ \Rightarrow \mathrm{BC}=13\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Ta có: AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC, AC, AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{AN}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{1}{2}.12=6\mathrm{cm} \\ \mathrm{AE}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}.5=2,5\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Pytago với tam giác AEC vuông tại A ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AE}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{CE}}^2\Rightarrow 2,5^2+{12}^2={\mathrm{CE}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{CE}}^2=\frac{601}{4}\Rightarrow \mathrm{CE}=\frac{\sqrt{601}}{2}\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Ta có tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có:

$\Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{1}{2}.13=\frac{13}{2}\mathrm{cm}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{GA}+\mathrm{GB}+\mathrm{GC} \\ =\frac{2}{3}\mathrm{AM}+\frac{2}{3}\mathrm{BN}+\frac{2}{3}\mathrm{CE} \\ =\frac{2}{3}\left(\mathrm{AN}+\mathrm{BN}+\mathrm{CE}\right) \end{gathered}$$

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{GA}+\mathrm{GB}+\mathrm{GC} \\ =\frac{2}{3}\left(\frac{13}{2}+\sqrt{61}+\frac{\sqrt{601}}{2}\right)\approx 17,71\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Theo bất đẳng thức tam giác ABC có: AB – BC < AC < AB + BC

Suy ra 15 – 8 < AC < 15 + 8 hay 7 < AC < 23.

Theo đề bài ta có: AC là số nguyên tố và AC > 4² = 16

Suy ra AC = 17cm hoặc AC = 19cm

+) Nếu AC = 17cm thì 15 + 8 >17 (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

+) Nếu AC = 19cm thì 15 + 8 > 19 (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy độ dài cạnh AC có thể là 17 cm và 19 cm

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $\mathrm{MI}=\frac{1}{2}\mathrm{ON}\Rightarrow \mathrm{MI}=\mathrm{IO}=\mathrm{IN}$

Xét tam giác MIO có $\mathrm{MI}=\mathrm{IO}$ nên tam giác MIO cân tại I $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{M}}_1}=\hat{\mathrm{O}}$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác MIN có $\mathrm{MI}=\mathrm{IN}$ nên tam giác MIN cân tại I $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{M}}_2}=\hat{\mathrm{N}}$ (tính chất tam giác cân)

Suy ra 

$\widehat{{\mathrm{M}}_1}+\widehat{{\mathrm{M}}_2}=\hat{\mathrm{N}}+\hat{\mathrm{O}}\iff \widehat{\mathrm{OMN}}=\hat{\mathrm{N}}+\hat{\mathrm{O}}$

Xét tam giác MON có: $\widehat{\mathrm{OMN}}+\hat{\mathrm{N}}+\hat{\mathrm{O}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{OMN}}=\hat{\mathrm{N}}+\hat{\mathrm{O}}=\frac{180°}{2}=90°$ nên tam giác MON vuông tại M

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\widehat{\mathrm{KIO}}=\widehat{\mathrm{HIO}} \left(\mathrm{gt}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{IO}$ là tia phân giác góc KIH (1)

Ta có: $\widehat{\mathrm{IKO}}=\widehat{\mathrm{HKO}} \left(\mathrm{gt}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{KO}$ là tia phân giác góc IKH (2)

Từ (1) và (2) suy ra O là giao điểm hai tia phân giác

Do đó O thuộc tia phân giác của góc H (tính chất ba đường phân giác trong tam giác)

Suy ra: $\widehat{\mathrm{IHO}}=\widehat{\mathrm{KHO}}=\frac{\widehat{\mathrm{IHK}}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$ (tính chất đường phân giác)

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $\widehat{\mathrm{ABC}}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác AHB nên:

$\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{AHB}}+\widehat{\mathrm{BAH}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABC}}>\widehat{\mathrm{AHB}}$

Hay $\hat{\mathrm{B}}>90°$ nên  là góc tù và là góc lớn nhất trong tam giác ABC

$\Rightarrow \mathrm{AC}>\mathrm{AB}; \mathrm{AC}>\mathrm{BC}$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pytago có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2 \\ \iff {\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2 \\ =5^2-4^2=9=3^2 \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=3\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Từ đó ta có: $\mathrm{AC}<\mathrm{AB}<\mathrm{BC} \left(3\mathrm{cm}<4\mathrm{cm}<5\mathrm{cm}\right)$ suy ra $\hat{\mathrm{B}}<\hat{\mathrm{C}}<\hat{\mathrm{A}}$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $△\mathrm{MNP}$ cân tại M có MA là trung tuyến nên MA cũng là đường cao (tính chất các đường trong tam giác cân)

Xét $△\mathrm{MAN}$ vuông tại A, theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{MA}}^2+{\mathrm{NA}}^2={\mathrm{MN}}^2 \\ \iff {\mathrm{MA}}^2={\mathrm{MN}}^2-{\mathrm{NA}}^2={13}^2-{12}^2=25 \\ \Rightarrow \mathrm{MA}=5\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Vì MA là trung tuyến, G là trọng tâm nên tính chất trọng tâm tam giác ta có:

$\mathrm{MG}=\frac{2}{3}\mathrm{MA}=\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Theo bài ra ta có:

$\hat{\mathrm{A}}:\hat{\mathrm{B}}:\hat{\mathrm{C}}=2:3:4\Rightarrow \hat{\mathrm{A}}<\hat{\mathrm{B}}<\hat{\mathrm{C}}$

Suy ra AB > AC > BC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong )

Đáp án: D

Giải thích:

+) DE vuông góc với BC nên ta có tam giác BDE là tam giác vuông

Xét hai tam giác vuông BAD và BED ta có:

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{EBD}}$ (do BD là tia phân giác của góc B)

BD là cạnh chung

Vậy $△\mathrm{BAD}=△\mathrm{BED}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\mathrm{BE}\\ \mathrm{AD}=\mathrm{DE}\end{array}\right.$ (các cặp cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \mathrm{B}; \mathrm{D}$ nằm trên đường trung trực của AE và BD là đường trung trực của AE. Do đó A đúng

+) Xét hai tam giác vuông ADF và EDC ta có:

AF = EC (gt)

DA = DE (cmt)

Vậy $△\mathrm{ADF}=△\mathrm{EDC}$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau)

Suy ra DF = DC (hai cạnh tương ứng). Do đó B đúng

+)Trong tam giác vuông ADF, AD là cạnh góc vuông,  DF là cạnh huyền nên $\mathrm{DA}<\mathrm{DF}$

Mà $\mathrm{DF}=\mathrm{DC}$ (cmt). Từ đó, suy ra $\mathrm{AD}<\mathrm{DC}$ . Do đó C đúng

Vậy cả A, B, C đều đúng