Đáp án: D

Giải thích:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A(gt)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\left(180°-\hat{\mathrm{A}}\right):2 \\ =\left(180°-50°\right):2=65° \end{gathered}$$

Vì D thuộc đường trung trực của AB nên

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}$ cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{DAC}}+\widehat{\mathrm{CAB}}=\widehat{\mathrm{DAB}}=\hat{\mathrm{B}}=65° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{DAC}}=65°-\widehat{\mathrm{CAB}}=65°-45°=15° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì đường trung trực của AC cắt AB tại D nên suy ra $\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{ADC}$ là tam giác cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\hat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Vì CD là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}=\frac{\hat{\mathrm{C}}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}=2\hat{\mathrm{A}}$

Lại có $△\mathrm{ABC}$ cân tại A (gt) $\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=2\hat{\mathrm{A}}$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}+2\hat{\mathrm{A}}+2\hat{\mathrm{A}}=180° \\ \Rightarrow 5\hat{\mathrm{A}}=180°\Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=36° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=2\hat{\mathrm{A}}=2.36°=72° \end{gathered}$$

Vậy $\hat{\mathrm{A}}=36°; \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=72°$

Đáp án: C

Giải thích:

 

Vì M thuộc đường trung trực của BC$\Rightarrow \mathrm{BM}=\mathrm{MC}$(tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{BMC}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MBC}}=\hat{\mathrm{C}}=30°$ (tính chất tam giác cân)

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ABC}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\left(\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{C}}\right) \\ =180°-30°-90°=60° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ABM}}+\widehat{\mathrm{MBC}}=\widehat{\mathrm{ABC}}=60° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ABM}}=60°-\widehat{\mathrm{MBC}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ABM}}=60°-30°=30° \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABM}}=\widehat{\mathrm{MBC}}\Rightarrow \mathrm{BM}$ là phân giác của

Đáp án: D

Giải thích:

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra $\mathrm{BM}=\mathrm{MC}$ (tính chất trung điểm), loại đáp án A

Xét $△\mathrm{BCE}$ có M là trung điểm BC (gt) suy ra EM là trung tuyến

$\Rightarrow \mathrm{EM}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Xét $△\mathrm{BCD}$ có M là trung điểm BC (gt) suy ra DM trung tuyến

$\Rightarrow \mathrm{DM}=\mathrm{MB}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \mathrm{EM}=\mathrm{DM}\Rightarrow \mathrm{M}$ thuộc đường trung trực DE.

Loại đáp án B, chọn đáp án D

Đáp án: C

Giải thích:

Vì đường trung trực của AC cắt AB tại D nên $\mathrm{DA}=\mathrm{DC}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{ADC}$ là tam giác cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{C}}_1}$ (1) (tính chất tam giác cân)

Vì CD là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}=\frac{\hat{\mathrm{C}}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

Từ (1) và (2) $\widehat{\mathrm{ACB}}=2\widehat{{\mathrm{C}}_2}=2\hat{\mathrm{A}}$ mà $\hat{\mathrm{A}}=35°$ nên $\widehat{\mathrm{ACB}}=2.35°=70°$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có:

$\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°$ (định lí tổng ba góc của tam giác)

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\left(\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ACB}}\right) \\ \widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\left(35°+70°\right)=75° \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{\mathrm{ABC}}=75°; \widehat{\mathrm{ACB}}=70°$

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác AOB và COE có

OA = OC (Vì O thuộc đường trung trực của AC)

OB = OE (Vì O thuộc đường trung trực của BE)

AB = CE (gt)

$\Rightarrow △\mathrm{AOB}=△\mathrm{COE}\left(\mathrm{c}.\mathrm{c}.\mathrm{c}\right)$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{OAB}$ cân tại O $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (tính chất tam giác cân) (1)

Vì AH là đường phân giác của $△\mathrm{ABC}$ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$ (tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$

Ta có: $\mathrm{AC}=\mathrm{AF}+\mathrm{CF}$ mà $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$ (gt) nên $\mathrm{AC}=\mathrm{AF}+\mathrm{AE}$

Mặt khác $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\left(\mathrm{gt}\right)$; $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}+\mathrm{BE}$

Do đó AF = BE

Xét $△\mathrm{BOE}$ và $△\mathrm{AOF}$ có:

BE = AF (cmt)

$\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$ (cmt)

OB = OA (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{BOE}=△\mathrm{AOF}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

Suy ra OE = OF (hai cạnh tương ứng)

Đáp án: A

Giải thích:

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên $\mathrm{EA}=\mathrm{EB}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $△\mathrm{ABE}$ cân tại E (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\hat{\mathrm{B}}$ (tính chất tam giác cân)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên $\mathrm{FA}=\mathrm{FC}$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $△\mathrm{AFC}$ cân tại F(dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\hat{\mathrm{C}}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: $\widehat{\mathrm{BAC}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$(định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°-\widehat{\mathrm{BAC}}=180°-100°=80°$ hay $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=80°$

Lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{\mathrm{BAC}} \\ \Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{\mathrm{BAC}}-\left(\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}\right) \\ \Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=100°-80°=20° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì E thuộc đường trung trực của AB nên $\mathrm{EA}=\mathrm{EB}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $△\mathrm{ABE}$ cân tại E (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\hat{\mathrm{B}}$ (tính chất tam giác cân)

Vì F thuộc đường trung trực của AC nên $\mathrm{FA}=\mathrm{FC}$ tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Khi đó $△\mathrm{AFC}$ cân tại F (dấu hiêu nhận biết tam giác cân) $\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\hat{\mathrm{C}}$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: $\widehat{\mathrm{BAC}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°-\widehat{\mathrm{BAC}}=180°-110°=70°$ hay $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=70°$

Lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{\mathrm{BAC}} \\ \Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{\mathrm{BAC}}-\left(\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}\right) \\ \Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=110°-70°=40° \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác vuông AHD và tam giác AKD có:

AH = AK (gt)

AD chung

$\Rightarrow △\mathrm{AHD}=△\mathrm{AKD}(\mathrm{ch}-\mathrm{cgv})$

Nên A đúng

Từ đó ta có: HD = DK; $\widehat{\mathrm{HAD}}=\widehat{\mathrm{DAK}}$ suy ra AD là tia phân giác góc HAK nên C đúng

Ta có: AH = AK (gt) và HA = DK (cmt) suy ra AD là đường trung trực đoạn HK nên B đúng

Vậy cả A, B, C đúng

Đáp án: C

Giải thích:

Vì AB là trung trực của HD (gt) $\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{AH}$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Vì AC là trung trực của HE (gt) $\Rightarrow \mathrm{AH}=\mathrm{AE}$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{AE}\Rightarrow △\mathrm{ADE}$cân tại A. Nên A đúng

+) M nằm trên đường trung trực của HD nên $\mathrm{MD}=\mathrm{MH}$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

Xét $△\mathrm{AMD}$ và $△\mathrm{AMH}$ có:

MD = MH (cmt)

AD = AH (cmt)

AM chung

$\Rightarrow △\mathrm{AMD}=△\mathrm{AMH}\left(\mathrm{c}.\mathrm{c}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MDA}}=\widehat{\mathrm{MHA}}$(hai góc tương ứng)

Lại có, N là đường trung trực của HE nên $\mathrm{NH}=\mathrm{NE}$ (tính chất trung trực của đoạn thẳng)

+) Xét $△\mathrm{AHN}$ và $△\mathrm{AEN}$ có:

AN cạnh chung

AH = AE (cmt)

NH = NE (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{AHN}=△\mathrm{AEN} (\mathrm{c}.\mathrm{c}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \widehat{NHA}=\widehat{NEA}$ (2 góc tương ứng)

Mà $△\mathrm{ADE}$ cân tại A(cmt)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MDA}}=\widehat{\mathrm{NEA}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{MHA}}=\widehat{\mathrm{NHA}}$

Vậy HA là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{MHN}}$

Đáp án: C

Giải thích:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Vậy C đúng.

Đáp án: B

Giải thích:

Gỉa sử $△\mathrm{ABC}$ có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh $△\mathrm{ABC}$ là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của $△\mathrm{ABC}$(gt) $\Rightarrow \mathrm{BM}=\mathrm{MC}$  (tính chất trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC $\Rightarrow \mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}$

Xét hai tam giác vuông $△\mathrm{ABM}$ và $△\mathrm{ACM}$ có:

BM = MC (cmt)

AM chung

$\Rightarrow △\mathrm{ABM}=△\mathrm{ACN}$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$(2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow △\mathrm{ABC}$ cân tại A

Đáp án: B

Giải thích:

Gỉa sử $△\mathrm{ABC}$ có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh BC

Vì AM là đường phân giác của $△\mathrm{ABC}$(gt)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAM}}=\widehat{\mathrm{MAC}}$(tính chất tia phân giác)

Vì AM là đường trung trực của BC nên

$\mathrm{AM}\perp \mathrm{BC}\Rightarrow \widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{AMC}}=90°$

Xét $△\mathrm{ABM}$ và $△\mathrm{ACM}$ có:

$\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{AMC}}=90°$ (cmt)

AM chung

$\widehat{\mathrm{BAM}}=\widehat{\mathrm{MAC}}$ (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{ABM}=△\mathrm{ACM}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow △\mathrm{ABC}$ cân tại A

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A(gt)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\left(180°-\hat{\mathrm{A}}\right):2 \\ =\left(180°-40°\right):2=70° \end{gathered}$$

Vì D thuộc đường trung trực của AB nên

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}$ cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{DAC}}+\widehat{\mathrm{CAB}}=\widehat{\mathrm{DAB}}=\hat{\mathrm{B}}=70° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{DAC}}=70°-\widehat{\mathrm{CAB}}=70°-40°=30° \end{gathered}$$