Đáp án: A

Giải thích:

Vì G là trọng tâm của $△\mathrm{ABC}$ nên $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BN}$

Số thích hợp điền vào chỗ trống là $\frac{2}{3}$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên

$\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}.15=10\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Số cần điền là $\frac{2}{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

+ Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên đáp án D sai.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: MR, NS là hai đường trung tuyến của tam giác MNP và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác MNP

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\frac{\mathrm{MG}}{\mathrm{MR}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{MR}=\frac{3}{2}\mathrm{MG}=\frac{3}{2}.3=4,5\left(\mathrm{cm}\right)$

Vậy MR = 4,5cm

Đáp án: D

Giải thích:

- Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện nên A đúng.

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó nên B, C đúng.

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi MH là đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK là đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME.

Hai đường trung tuyến ME và NF cắt nhau tại O nên O là trọng tâm tam giác MNP, do đó $\mathrm{MO}=\frac{2}{3}\mathrm{ME}$

Có ME là trung tuyến ứng với cạnh NP nên E là trung điểm của NP, suy ra

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNO}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNE}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{NK}.\mathrm{MO}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{NK}.\mathrm{ME}} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{NK}.{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{ME}}{\frac{1}{2}.\mathrm{NK}.\mathrm{ME}}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{MNO}}=\frac{2}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNE}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNE}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNP}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{MH}.\mathrm{NE}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{MH}.\mathrm{NP}} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{MH}.\mathrm{NE}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}.\mathrm{MH}.2\mathrm{NE}}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{MNE}}=\frac{1}{2}{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNP}} \end{gathered}$$

Từ đó suy ra:

$$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{MNP}}=2.{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNE}}=3.{\mathrm{S}}_{\mathrm{MNO}} \\ \Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{MNP}}=3.8.=24{\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}$; $\mathrm{CH}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$ mà $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}\Rightarrow \mathrm{BG}=\mathrm{CG}$.

Từ đó: $\mathrm{BD}-\mathrm{BG}=\mathrm{CE}-\mathrm{CG}\Rightarrow \mathrm{GD}=\mathrm{GE}$

Xét tam giác BGE và tam giác CGD có:

BG = CG

GD = GE

$\widehat{\mathrm{BGE}}=\widehat{\mathrm{CGD}}$ (đối đỉnh)

$$\begin{gathered} \Rightarrow △\mathrm{BGE}=△\mathrm{CDG}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CD}\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{AC} \end{gathered}$$

Do đó $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ hay tam giác ABC cân tại A

Đáp án: C

Giải thích:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên

$\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Do đó $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}.9=6$

Đáp án: B

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BN, CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}; \mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BN}; \mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CP}$

Vì G là trung điểm của AD nên $\mathrm{GD}=\mathrm{AG}$ mà $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}$ (cmt), do đó $\mathrm{GD}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}$

Ta có: $\mathrm{GD}=\mathrm{AG}=2\mathrm{GM}$ (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

Mà 

$$\begin{gathered} \mathrm{GD}=\mathrm{GM}+\mathrm{MD} \\ \Rightarrow 2\mathrm{GM}=\mathrm{GM}+\mathrm{MD}\Rightarrow \mathrm{GM}=\mathrm{MD} \end{gathered}$$

Xét $△\mathrm{BMD}$ và $△\mathrm{CMG}$ có:

GM = MD

$\widehat{\mathrm{BMD}}=\widehat{\mathrm{CMG}}$ (hai góc đối đỉnh)

BM = MC (vì AM là đường trung tuyến của $△\mathrm{ABC}$)

$\Rightarrow △\mathrm{BMD}=△\mathrm{CMG}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{CG}$ (hai cạnh tương ứng) mà $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CP}$(cmt) nên $\mathrm{BD}=\frac{2}{3}\mathrm{CP}$(cmt)

Vậy $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BN}; \mathrm{GD}=\frac{2}{3}\mathrm{AM}; \mathrm{BD}=\frac{2}{3}\mathrm{CP}$

Đáp án: B

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{AB}}^2={15}^2-9^2=122 \\ \Rightarrow \mathrm{AB}=12 \end{gathered}$$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC, AC, AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB

$\Rightarrow \mathrm{AE}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}=\frac{1}{2}.12=6\mathrm{cm}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vuông tại A ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AE}}^2={\mathrm{CE}}^2\Rightarrow 9^2+6^2={\mathrm{CE}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{CE}}^2=117\Rightarrow \mathrm{CE}=\sqrt{117}\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}; \mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$

Mà $\mathrm{BD}=9\mathrm{cm}$; $\mathrm{CE}=12\mathrm{cm}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}.9=6\mathrm{cm}$; $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}.12=8\mathrm{cm}$

Xét tam goác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{BC}}^2={\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2 \\ {\mathrm{BC}}^2=6^2+8^2=100 \end{gathered}$$

Hay BC = 10cm

Vậy BC = 10cm

Đáp án: C

Giải thích:

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: $\mathrm{BI}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{BE}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}$ (1)    

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$\mathrm{EK}=\frac{2}{3}\mathrm{ED}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{BE}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{IK}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}$ từ đó $\mathrm{BI}=\mathrm{EK}=\mathrm{IK}$

Đáp án: B

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ vuông tại A nên theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{AC}}^2={13}^2-5^2=144 \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=12 \end{gathered}$$

Ta có AM, BN, CE là các đường trung tuyến ứng với các cạnh BC, AC, AB của tam giác vuông ABC

Suy ra M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB

$\Rightarrow \mathrm{AN}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{1}{2}.12=6\mathrm{cm}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vuông tại A ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AN}}^2={\mathrm{BN}}^2 \\ \Rightarrow 5^2+6^2={\mathrm{BN}}^2\Rightarrow {\mathrm{BN}}^2=61 \\ \Rightarrow \mathrm{BN}=\sqrt{61}\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi giao điểm của hai đường trung tuyến BD và CE là G thì G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}; \mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$

Mà $\mathrm{BD}=4,5\mathrm{cm}$; $\mathrm{CE}=6\mathrm{cm}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}.4,5=3\mathrm{cm}$; $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}.6=4\mathrm{cm}$

Xét tam goác BGC vuông tại G, theo định lí Pytago ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{BC}}^2={\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2 \\ {\mathrm{BC}}^2=3^2+4^2=25 \end{gathered}$$

Hay BC = 5cm

Vậy BC = 5cm

Đáp án: A

Giải thích:

Các tia AG, BG và CG cắt BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F thì D, E, F theo thứ tự lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB

Mà $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}=\mathrm{CE}=\mathrm{EA}=\mathrm{AF}=\mathrm{FB}$

Xét $△\mathrm{AEB}$ và $△\mathrm{AFC}$ ta có:

AB = AC

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

AE = AF

$\Rightarrow △\mathrm{AEB}=△\mathrm{AFC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CF}$(1)

Chứng minh tương tự ta có:

$△\mathrm{BEC}=△\mathrm{ADC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{AD}$(2)

Từ (1) và (2) ta có: $\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$(3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\mathrm{GA}=\frac{2}{3}\mathrm{AD}$; $\mathrm{GB}=\frac{2}{3}\mathrm{BE}$; $\mathrm{GC}=\frac{2}{3}\mathrm{CF}$

Vì thế từ (3) ta suy ra $\mathrm{GA}=\mathrm{GB}=\mathrm{GC}$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\mathrm{DE}=\mathrm{DB}$ mà $\mathrm{BD}+\mathrm{DE}=\mathrm{BE}$ 

$\Rightarrow 2\mathrm{BD}=\mathrm{BE}\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{DE}=\frac{1}{2}\mathrm{BE}$

Vì AM, DB là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó:$\mathrm{BI}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{BE}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}$ (1)    

Vì AN, ED là hai đường trung tuyến của tam giác ACE và chúng cắt nhau tại K nên K là trọng tâm tam giác ACE nên

$\mathrm{EK}=\frac{2}{3}\mathrm{ED}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{BE}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}$ (2)

Mặt khác $\mathrm{BI}+\mathrm{IK}+\mathrm{KE}=\mathrm{BE}$ kết hợp với (1);(2) suy ra

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}\mathrm{BE}+\mathrm{IK}+\frac{1}{2}\mathrm{BE}=\mathrm{BE} \\ \Rightarrow \mathrm{IK}=\frac{1}{3}\mathrm{BE} \end{gathered}$$

Do đó: $\mathrm{BE}=3\mathrm{IK}=3.3=9\mathrm{cm}$

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi G là giao điểm của BD và CE. Trong $△\mathrm{GBC}$ ta có $\mathrm{BG}+\mathrm{CG}>\mathrm{BC}$

Ta lại có: $\mathrm{BG}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}$; $\mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CE}$ (tính chất các đường trung tuyến của tam giác ABC)

Từ đó:

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}\mathrm{BD}+\frac{2}{3}\mathrm{CE}>\mathrm{BG}+\mathrm{CG} \\ \Rightarrow \frac{2}{3}\left(\mathrm{BD}+\mathrm{CE}\right)>\mathrm{BG}+\mathrm{CG} \\ \Rightarrow \mathrm{BD}+\mathrm{CE}>\frac{2}{3}\mathrm{BC} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB nên       

$$\begin{gathered} \mathrm{BD}+\mathrm{CE}=\mathrm{BC} \\ △\mathrm{GBC} \\ \mathrm{BG}+\mathrm{CG}>\mathrm{BC} \\ \mathrm{BD}=\frac{2}{3}\mathrm{BD}; \mathrm{CG}=\frac{2}{3}\mathrm{CE} \\ \frac{2}{3}\mathrm{BD}+\frac{2}{3}\mathrm{CE}>\mathrm{BG}+\mathrm{CG} \\ \Rightarrow \frac{2}{3}\left(\mathrm{BD}+\mathrm{CE}\right)>\mathrm{BG}+\mathrm{CG} \\ \Rightarrow \mathrm{BD}+\mathrm{CE}>\frac{2}{3}\mathrm{BC} \\ \mathrm{BD}=\mathrm{DC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC} \\ \mathrm{CE}=\mathrm{EA}=\frac{1}{2}\mathrm{AC} \\ \mathrm{AF}=\mathrm{FB}=\frac{1}{2}\mathrm{AB} \end{gathered}$$

Mặt khác $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ (do tam giác ABC là tam giác đều), do đó $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}=\mathrm{CE}=\mathrm{EA}=\mathrm{AF}=\mathrm{FB}$

Xét $△\mathrm{AEB}$ và $△\mathrm{AFC}$ ta có:

AB = AC

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

AE = AF

$\Rightarrow △\mathrm{AEB}=△\mathrm{AFC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CF}$(1)

Chứng minh tương tự ta có

$△\mathrm{BEC}=△\mathrm{ADC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{AD}$(2)

Từ (1) và (2) ta có: $\mathrm{AD}=\mathrm{BE}=\mathrm{CF}$(3)

Theo đề bài G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{GA}=\frac{2}{3}\mathrm{AD}; \mathrm{GB}=\frac{2}{3}\mathrm{BE}; \mathrm{GC}=\frac{2}{3}\mathrm{CF} \\ \Rightarrow \mathrm{GD}=\frac{1}{3}\mathrm{AD}; \mathrm{GE}=\frac{1}{3}\mathrm{BE}; \mathrm{GF}=\frac{1}{3}\mathrm{CF} \end{gathered}$$

Kết hợp với (3) ta được: $\mathrm{GD}=\mathrm{GE}=\mathrm{GF}$