$y=\frac{2mx+m}{x-1}\left|\begin{array}{c}x=1\left(TCD\right)\\ y=2m\left(TCN\right)\end{array}\right.$

$S=8\iff \left|2m\right|.\left|1\right|=8\iff \left|2m\right|=8\iff 2m=\pm 8\iff m=\pm 4$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án đúng là D

Lời giải

$y=\frac{x-2}{x^2-2x+m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x+m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{m}{x^2}}=0$

Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\iff$ đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng

$\iff x^2-2x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 2^2-2.2+m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-m>0\\ m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<1\\ m\ne 0\end{array}\right.$

*Phương pháp giải:

-Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

- Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

*Lý thuyết:

1. Đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$; $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$).

- Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. Đường tiệm cận ngang.

- Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Chú ý:

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(ad-bc\ne 0,c\ne 0\right)$ luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là $y=\frac{a}{c}$; $x=-\frac{d}{c}$.

- Nếu $y=f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ.

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀ không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là .

+ Nếu bậc (P(x)) $\le$bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

xem thêm

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Ta có:  $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+2mx-m+2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.

Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 (1)

Phương trình $x^2+2mx-m+2=0$ có  $\Delta \text{'}=m^2-\left(-m+2\right)=m^2+m-2$

$\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 1^2+2m.1-m+2=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2+m-2\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2+m-2>0\\ 3+m=0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}m>1\\ m<-2\\ m=-3\end{array}\iff \right.\end{array}\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=-2\\ m=-3\end{array}\right.\right.$

Do đó, tập các giá trị của tham số m thỏa mãn là:  $S=\left\{1;-2;-3\right\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp S bằng : 1 – 2 – 3 = - 4

Đáp án cần chọn là: A

ĐKXĐ:  $\left\{\begin{array}{c}m{x}^2\ge 4\\ x\ne 1\end{array}\right.\Rightarrow m>0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=\sqrt{m}\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}=-\sqrt{m}\end{array}\right.$

 $\Rightarrow$  đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang $y=\pm \sqrt{m}$  (m > 0)

Để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{m{x}^2-4}}{x-1}$ có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.

$\Rightarrow x=1$ phải thỏa mãn điều kiện $m{x}^2\ge 4\iff m\ge 4$ 

Do đó, $m\ge 4$ thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.

Mặt khác, $m\in \left[-10;10\right],m\in Z$ nên $m\in \left\{4;5;6;7;8;9;10\right\}$ 

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$y=\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-3}{x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x}{x^3}-\frac{3}{x^3}}{1-3m\frac{x^2}{x^3}+\left(2m^2+1\right)\frac{x}{x^3}-\frac{m}{x^3}}=0$

Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình  $x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$ (1) có ba nghiệm phân biệt  $x\ne 3$

Ta có:$x^3-3m{x}^2+\left(2m^2+1\right)x-m=0$

$\iff \left(x-m\right)\left(x^2-2mx+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=m\\ x^2-2mx+1=0(*)\end{array}\right.$

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì $m\ne 3$ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

Do đó:  $\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=m^2-1>0\\ 3^2-2.m.3+1\ne 0\\ m^2-2m^2+1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\\ m\ne -1\\ m\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m<-1\\ m>1\end{array}\right.\\ m\ne \frac{5}{3}\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện  $\left\{\begin{array}{c}m\ne 3\\ -6\le m\le 6\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{-6;-5;-4;-3;-2;2;4;5;6\right\}$

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ:  $\left\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x^2-6x+2m>0\end{array}\right.$

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình $x^2-6x+2m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn  $x_1>x_2>-2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ x_1+x_2>-4\\ \left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}9-2m>0\\ 6>-4\left(tm\right)\\ x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m+2.6+4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{9}{2}\\ 2m>-16\end{array}\right.$

$\iff -8<m<\frac{9}{2}$

$\Rightarrow S=\left\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$

Vậy tập hợp S có 12 phần tử.

Đáp án cần chọn là: C

Với m = 0 ta có x = 0 là nghiệm của đa thức $2x^2-3x$ trên tử $\Rightarrow y=2x-3\left(x\ne 0\right)$ không có tiệm cận đứng

Với m = 1 ta có x = 1 là nghiệm của đa thức $2x^2-3x+1$ trên tử $\Rightarrow y=2x-1\left(x\ne 1\right)$ không có tiệm cận đứng

Đáp án cần chọn là: B

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}=\frac{1}{\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to -\infty }{\lim }2}=\frac{1}{-1+2}\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ có TCN y = 1

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}=\frac{1}{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to +\infty }{\lim }2}=\frac{1}{m+2}$

Để đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ có duy nhất một tiệm cận ngang thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)+2}$ hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.

Khi đó  $\left[\begin{array}{c}m+2=0\\ m+2=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=-2\\ m=-1\end{array}\right.$

Vậy có 2 giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ:  $x=2\Rightarrow -\frac{c}{b}=2\iff c=-2b$

TCN:  $y=1\Rightarrow \frac{a}{b}=1\iff a=b$

Ta có:  $f\left(x\right)=\frac{ax+1}{bx+c}$$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{ac-b}{{\left(bx+c\right)}^2}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và  $\left(2;+\infty \right)$

$\iff y\text{'}=0\forall x\ne 2$

$\iff \frac{ac-b}{{\left(bx+c\right)}^2}>0\forall x\ne 2$

$\iff b.\left(-2b\right)-b>0$   

$\iff -2b^2-b>0$$\iff 2b^2+b<0$

$\iff -\frac{1}{2}<b<0$   $\Rightarrow b<0$

$\Rightarrow a<0,c>0$

Vậy trong ba số a, b, c có 1 số dương.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)-1}=\frac{1}{2-1}=1$ , do đó đồ thị hàm số có TCN y = 1

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)-1}=0$ , do đó đồ thị hàm số có TCN y = 0

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)-1}$ là số nghệm của phương trình  $f\left(x\right)=1$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 4 điểm phân biệt nên phương trình $f\left(x\right)=1$ có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 6 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: B

ĐKXĐ:  $x\ge 1,f\left(x\right)\ne 0,f\left(x\right)\ne 1$

$g\left(x\right)=\frac{\left(x^2-3x+2\right)\sqrt{x-1}}{x\left[f^2\left(x\right)-f\left(x\right)\right]}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\sqrt{x-1}}{xf\left(x\right)\left[f\left(x\right)-1\right]}$

Nhận xét: $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ là hàm số bậc ba, đồng thời, quan sát đồ thị ta thấy:

+ $f\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=x_1\left(0<x_1<1\right)$ (ktm) (nghiệm đơn) và $x=2$ (nghiệm kép)

+ $f\left(x\right)=1$ có 3 nghiệm phân biệt x = 1 (nghiệm đơn), $x=x_2\left(1<x_2<2\right)$ (nghiệm đơn) và $x=x_3\left(x_3>2\right)$ (nghiệm đơn)

Khi đó hàm số $y=g\left(x\right)$ được viết dưới dạng  $g\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)\sqrt{x-1}}{x.a\left(x-x_1\right){\left(x-2\right)}^2.a\left(x-1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)}$

Do đó, đồ thị hàm số g (x) có 3 đường tiệm cận đứng là:  $x=x_2;x=2;x=x_3$

Đáp án cần chọn là: B

+ Nếu a = 0 thì $y=\frac{1}{x+2}$, đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng x = - 2 và tiệm cận ngang y = 0 nên A, C sai.

+ Nếu $a\ne 0$ thì $y=ax+a+\frac{1}{x+2}$ nên $y=ax+a$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Khi đó, $y=ax+a\iff a\left(x+1\right)-y=0$ luôn đi qua điểm $\left(-1;0\right)$ với mọi  $a\ne 0$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:$y=\frac{\left(x^2+4x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x\left[f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)\right]}=\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)\sqrt{x^2+x}}{x.f\left(x\right)\left[f\left(x\right)-2\right]}$

ĐK:  $\left\{\begin{array}{c}x\left(x+1\right)\ge 0\\ x\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\in \left(-\infty ;-1\right]\cup \left(0;+\infty \right)\\ f\left(x\right)\ne 0\\ f\left(x\right)\ne 2\end{array}\right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm kép x = - 3 và 1 nghiệm $x=a\in \left(-1;0\right)$, khi đó  $f\left(x\right)=m{\left(x+3\right)}^2\left(x-a\right)\left(m\ne 0\right)$

Xét phương trình $f\left(x\right)-2=0\iff f\left(x\right)=2$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x=-1;x=b\in \left(-3;-1\right);x=c\in \left(-\infty ;-3\right)$

, khi đó  $f\left(x\right)-2=n\left(x+1\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)$

Khi đó điều kiện xác định là:  $\left\{\begin{array}{c}x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0;+\infty \right)\\ x\ne -3\\ x\ne b;x\ne c\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=\frac{\left(x+3\right)\left(x+1\right)\sqrt{x^2+x}}{x.m{\left(x+3\right)}^2\left(x-a\right).n\left(x+1\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

$=\frac{\left(x+1\right)\sqrt{x^2+x}}{mn.x\left(x+3\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

Khi $x=a\in \left(-1;0\right)$ $\Rightarrow$  hàm số không xác định

Vậy đồ thị hàm số có 4 TCĐ là  $x=0;x=-3;x=b;x=c$

Đáp án cần chọn là: D

Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-3}}$ ta có:

TXĐ:  $D=\left(-\infty ;-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3};+\infty \right)$

Ta có: $\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-3}}=+\infty \Rightarrow x=\sqrt{3}$ là TCĐ của đồ thị hàm số

$\underset{x\to -\sqrt{3}}{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-3}}=-\infty \Rightarrow x=-\sqrt{3}$ là TCĐ của đồ thị hàm số

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-3}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}}=-2\Rightarrow y=-2$ là TCN của đồ thị hàm số

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-3}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}}=2\Rightarrow y=2$ là TCN của đồ thị hàm số

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: A

Xét hàm số :$y=\frac{\sqrt{x-2}}{\left(x^2-4\right)\left(2x-7\right)}$

TXĐ:  $D=\left(2;+\infty \right)\backslash \left\{\frac{7}{2}\right\}$

$\underset{x\to \frac{7}{2}}{\lim }\frac{\sqrt{x-2}}{\left(x^2-4\right)\left(2x-7\right)}=\underset{x\to \frac{7}{2}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-2}\left(x+2\right)\left(2x-7\right)}=\infty \Rightarrow x=\frac{7}{2}$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x-2}}{\left(x^2-4\right)\left(2x-7\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-2}\left(x+2\right)\left(2x-7\right)}=\infty \Rightarrow x=2$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x-2}}{\left(x^2-4\right)\left(2x-7\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-2}\left(x+2\right)\left(2x-7\right)}=\infty \Rightarrow y=0$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án cần chọn là: A