Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x^2-2x+m}\left(C\right)$. Tất cả các giá trị của m để (C ) có 3 đường tiệm cận là:

Đáp án đúng là D

Lời giải

$y=\frac{x-2}{x^2-2x+m}$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x+m}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{m}{x^2}}=0$

Suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\iff$ đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng

$\iff x^2-2x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ 2^2-2.2+m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}1-m>0\\ m\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<1\\ m\ne 0\end{array}\right.$

*Phương pháp giải:

-Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

- Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

*Lý thuyết:

1. Đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$; $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$).

- Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. Đường tiệm cận ngang.

- Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Chú ý:

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(ad-bc\ne 0,c\ne 0\right)$ luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là $y=\frac{a}{c}$; $x=-\frac{d}{c}$.

- Nếu $y=f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ.

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀ không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là .

+ Nếu bậc (P(x)) $\le$bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

xem thêm

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Lý thuyết Đường tiệm cận (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12