Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = -x^3+6x^2-9x+12

Lời giải Bài 1.43 trang 44 Toán 12 Tập 1 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12.

1 1,532 09/06/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 1 trang 42

Bài 1.43 trang 44 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 12$ ;

b) $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ;

c) $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1}$ .

Lời giải:

a) 1. Tập xác định: $D = R$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 12 x - 9, y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 12 x - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Trên khoảng $(1; 3)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ , giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ , giá trị cực tiểu $y_{C T} = 8$

Giới hạn tại vô cực:

$lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 12) = lim_{x \to - \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}})] = + \infty$

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 12) = lim_{x \to + \infty} [x^{3} (- 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}})] = - \infty$

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 12$ với trục tung là (0; 12).

Đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 12$ đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 1. Tập xác định của hàm số: $R ∖ {- 1}$

2. Sự biến thiên:

$y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0 \forall x \neq - 1$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 1}{x + 1} = 2; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x + 1} = 2$
$lim_{x \to - 1^{-}} y = lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = + \infty; lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = - \infty$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 2$ làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $(0; - 1)$ .

$y = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(\frac{1}{2}; 0)$ .

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tài liệu VietJack

c) 1. Tập xác định của hàm số: $R ∖ {1}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = x - 1 - \frac{1}{x - 1}$

$y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x - 1) - (x^{2} - 2 x)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x + 2}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{{(x - 1)}^{2} + 1}{{(x - 1)}^{2}} > 0 \forall x \neq 1$

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = - \infty$
$lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = + \infty; lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = - \infty$

$lim_{x \to + \infty} [y - (x - 1)] = lim_{x \to + \infty} (x - 1 - \frac{1}{x - 1} - (x - 1)) = lim_{x \to + \infty} - \frac{1}{x - 1} = 0$

$lim_{x \to - \infty} [y - (x - 1)] = lim_{x \to - \infty} (x - 1 - \frac{1}{x - 1} - (x - 1)) = lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{x - 1} = 0$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = x - 1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Tài liệu VietJack

3. Đồ thị:

Tài liệu VietJack

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

$y = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2 x}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (0; 0) và (2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Xem thêm các bài giải sách giáo khoa Toán 12 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1.30 trang 42 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?...

Bài 1.31 trang 42 Toán 12 Tập 1: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $R$ ? A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ ; B. $y = - x^{3} + x + 1$ ;...