Giải Toán 11 trang 9 Tập 2 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 9 Tập 2 trong Bài 19: Lũy thừa với số mũ thực sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 9 Tập 2.

1 427 17/11/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 9 Tập 2

Bài 6.1 trang 9 Toán 11 Tập 2: Tính:

a) ${(\frac{1}{5})}^{- 2}$ ;

b) $4^{\frac{3}{2}}$ ;

c) ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}}$ ;

d) ${(\frac{1}{16})}^{- 0, 75}$ .

Lời giải:

a) ${(\frac{1}{5})}^{- 2} = 5^{2} = 25$ .

b) $4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8$ .

c) ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{{(2^{3})}^{2}} = \sqrt[3]{{(2^{2})}^{3}} = 2^{2} = 4$ .

d) ${(\frac{1}{16})}^{- 0, 75} = 16^{0, 75} = 16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^{3}}$ $= \sqrt[4]{{(2^{4})}^{3}} = \sqrt[4]{{(2^{3})}^{4}} = 2^{3} = 8$ .

Bài 6.2 trang 9 Toán 11 Tập 2: Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{- 0, 75} - 25^{0, 5}$ ;

b) $4^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}$ .

Lời giải:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{- 0, 75} - 25^{0, 5}$

$= {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} + {(3^{4})}^{- \frac{3}{4}} - {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}$

= 3² + 3^{– 3}– 5

= 9 + $\frac{1}{27}$ – 5

= $\frac{109}{27}$ .

b) $4^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}$

$= {(2^{2})}^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot {(2^{3})}^{2 \sqrt{7}}$

$= 2^{4 - 6 \sqrt{7}} \cdot 2^{6 \sqrt{7}}$

$= 2^{4 - 6 \sqrt{7} + 6 \sqrt{7}} = 2^{4} = 16$ .

Bài 6.3 trang 9 Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{5} y^{- 2}}{x^{3} y} (x, y \neq 0)$ ;

b) $B = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1} y^{4})}^{- 3}} (x, y \neq 0)$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{x^{5} y^{- 2}}{x^{3} y} = \frac{x^{5 - 3}}{y^{1 + 2}} = \frac{x^{2}}{y^{3}}$ .

b) $B = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1} y^{4})}^{- 3}} = \frac{x^{2} y^{- 3}}{{(x^{- 1})}^{- 3} {(y^{4})}^{- 3}} = \frac{x^{2} y^{- 3}}{x^{3} y^{- 12}}$ $= x^{2 - 3} y^{- 3 - (- 12)} = x^{- 1} y^{9} = \frac{y^{9}}{x}$ .

Bài 6.4 trang 9 Toán 11 Tập 2: Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ ;

b) $B = {(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} - 1}})}^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}}$ .

Lời giải:

a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ $= \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ .

b) $B = {(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} - 1}})}^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}}$ $= \frac{x^{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} + 1)}}{y^{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}} = \frac{x^{3 + \sqrt{3}}}{y^{2}} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}}$

$= \frac{x^{3 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}}{y^{2 + (- 2)}} = \frac{x^{2}}{y^{0}} = x^{2}$ .

Bài 6.5 trang 9 Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = 2$ .

Lời giải:

Ta có $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ $= \sqrt{1 + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}} - \sqrt{1 - 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

$= \sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}$ $= (1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2$ (do $1 - \sqrt{3} < 0$ ).

Bài 6.6 trang 9 Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6 \sqrt{3}}$ và $5^{3 \sqrt{6}}$ ;

b) ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $6 \sqrt{3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$ và $3 \sqrt{6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$ .

Vì 108 > 54 > 0 nên $\sqrt{108} > \sqrt{54}$ hay $6 \sqrt{3} > 3 \sqrt{6}$ .

Lại có 5 > 1 nên $5^{6 \sqrt{3}}$ > $5^{3 \sqrt{6}}$ .

b) Ta có ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{7}{6}}$ .

Do 2 > 1 và $\frac{4}{3} = \frac{8}{6} > \frac{7}{6}$ nên $2^{\frac{4}{3}} > 2^{\frac{7}{6}}$ , tức là ${(\frac{1}{2})}^{- \frac{4}{3}}$ > $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$ .