Giải Toán 11 trang 128 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với giải bài tập Toán 11 trang 128 trong Bài tập cuối chương 4 sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 128.

1 423 01/07/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 128 Tập 1

Bài 8 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AA’, A’C’, BC. Ta có:

A. (MNP) // (BCA);

B. (MNQ) // (A’B’C’);

C. (NQP) // (CAB);

D. (MPQ) // (ABA’).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: (MPQ) // (ABA’) vì:

MQ // AB ⊂ (ABA’)

Mà MQ ⊂ (MNQ)

Do đó (MPQ) // (ABA’).

Bài tập tự luận

Bài 9 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ và O là một điểm thuộc miền trong của mặt bên CC’D’D. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (OMN) với các mặt của hình hộp.

Lời giải:

Bài 9 trang 128 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Trong mặt phẳng (CDD’C’), từ điểm O kẻ đường thẳng song song với MN cắt CD tại Q và C’D’ tại P. Suy ra mp(OMN) = mp(MNPQ). Khi đó:

+) Giao tuyến của (OMN) với (ABB’A’) là MN.

+) Giao tuyến của (OMN) với (A’B’C’D’) là NP.

+) Giao tuyến của (OMN) với (CC’D’D) là PQ.

+) Giao tuyến của (OMN) với (ABCD) là MQ.

Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và (α) // (SAD) cắt CD, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.

b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.

Lời giải:

Bài 10 trang 128 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).

+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.

+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.

+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.

+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.

a) Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.

Ta có: SA // MQ, MN // AD và $\hat{S A D} = 60 °$ nên $\hat{Q M N} = 60 °$ .

Ta lại có: MN // AD, NP // SD và $\hat{S D A} = 60 °$ nên $\hat{P N M} = 60 °$ .

Suy ra: $\hat{Q M N} = \hat{P N M} = 60 °$

Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.

+) Ta có ABCD là hình thoi và MN // AD //BC nên MN = a.

+) Trong tam giác ABC, có PQ // BC nên $\frac{P Q}{B C} = \frac{S Q}{S B}$ (định lí Thales)

+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên $\frac{S Q}{S B} = \frac{A M}{A B} = \frac{x}{a}$ (định lí Thales)

Do đó $\frac{P Q}{B C} = \frac{x}{a} \Leftrightarrow \frac{P Q}{a} = \frac{x}{a} \Leftrightarrow P Q = x$ .

+) Ta lại có: $\frac{B Q}{S B} = \frac{M Q}{S A} = \frac{a - x}{a} \Rightarrow M Q = a - x$

+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:

$\sin \hat{M Q H} = \frac{Q H}{M Q} \Rightarrow Q H = M Q . \sin \hat{M Q H} = (a - x) . \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3} (a - x)}{2}$ .

Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: $S_{M N P Q} = \frac{(x + a) . \frac{\sqrt{3} (a - x)}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} (a^{2} - x^{2})}{4}$

Bài 11 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng chéo nhau a, b cắt (α) tại A và B. Gọi d là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với (α) và cắt a tại M, cắt b tại N. Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α) tại điểm C.

a) Tứ giác MNCA là hình gì?

b) Chứng minh rằng điểm C luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

c) Xác định vị trí của đường thẳng d để độ dài MN nhỏ nhất.

Lời giải:

Bài 11 trang 128 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Vì d // (α) nên phép chiếu song song của d trên mặt phẳng (α) là AC và d // AC hay MN // AC.

Mặt khác ta lại có AM // NC

Do đó tứ giác MNCA là hình bình hành.

b) C luôn chạy trên đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng b trên mặt phẳng (α) theo phương chiếu (α).

d) Để độ dài MN nhỏ nhất thì đường thẳng d phải vuông góc với a và vuông góc với b.

Bài 12 trang 128 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng hoàn toàn khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC và BF sao cho MC = 2MA; NF = 2NB. Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với AB, cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:

a) MN // DE;

b) M₁N₁ // (DEF);

c) (MNN₁M₁) // (DEF).

Lời giải:

Bài 12 trang 128 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

+) Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài DM cắt AB tại O

Vì AO // DC nên $\frac{A O}{D C} = \frac{A M}{M C} = \frac{O M}{M D} = \frac{1}{2}$ (định lí Thales)

Suy ra $A O = \frac{1}{2} A B$ .

+) Gọi N’ là giao điểm của BF và OE, khi đó: $\frac{O B}{E F} = \frac{B N'}{N' F} = \frac{O N'}{N' F} = \frac{1}{2} \Rightarrow B N' = 2 N' F$ nên N’ trùng N.