Giải SBT Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 59 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 8.25 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là

A .24.

B. 36.

C. 48.

D. 120.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.

Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí là: 3! = 3 . 2 . 1 = 6.

Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 . 1 = 2.

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là:

6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).

Bài 8.26 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Tổng các hệ số của các đơn thức trong khai triển của (1 + x)⁴ bằng

A. 32.

B. 8.

C. 4.

D. 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức khai triển của (1 + x)⁴ là:

${\left(1+x\right)}^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.x+C_4^2{.1}^2.x^2+C_4^3\mathrm{.1.}{x}^3+C_4^4.x^4$

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴

Do đó, tổng các hệ số của các đơn thức bằng: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.

Bài 8.27 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Giá trị của biểu thức ${\left(\sqrt{5}+1\right)}^5-{\left(\sqrt{5}-1\right)}^5$ bằng

A. 252.

B. 352.

C. 452.

D. 425.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức khai triển của (a + b)⁵ lần lượt cho $a=\sqrt{5}$  và b = 1, rồi cho $a=\sqrt{5}$ và b = –1, ta có

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{5}+1\right)}^5-{\left(\sqrt{5}-1\right)}^5 \\ =\left({\left(\sqrt{5}\right)}^5+5{\left(\sqrt{5}\right)}^4+10{\left(\sqrt{5}\right)}^3+10{\left(\sqrt{5}\right)}^2+5\sqrt{5}+1\right) \\ -\left({\left(\sqrt{5}\right)}^5-5{\left(\sqrt{5}\right)}^4+10{\left(\sqrt{5}\right)}^3-10{\left(\sqrt{5}\right)}^2+5\sqrt{5}-1\right) \\ =10.{\left(\sqrt{5}\right)}^4+20.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+2 \end{gathered}$$

= 10 . 25 + 20 . 5 + 2

= 352

Bài 8.28 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho đứng ngoài cùng bên trái và đứng ngoài cùng bên phải là các bạn nam ?

Lời giải:

Có tất cả 5 + 3 = 8 bạn học sinh.

Việc xếp 8 bạn học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán có thể được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: chọn ra 2 bạn trong số 5 bạn nam để xếp vào hai vị trí ngoài cùng bên trái và ngoài cùng bên phải;

– Công đoạn 2: xếp 8 – 2 = 6 bạn còn lại vào các vị trí giữa hai bạn nam đã xếp.

Đối với công đoạn 1, số cách chọn ra hai người và xếp vào hai vị trí là:

$A_5^2=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{\mathrm{5.4.3}!}{3!}=5.4=20$ (cách).

Đối với công đoạn 2, số cách xếp 6 người vào 6 vị trí còn lại là:

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (cách)

Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp là: 20 . 720 = 14 400 (cách).

Bài 8.29 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Một phòng thi có 4 hàng bàn ghế, mỗi hàng có 5 bộ bàn ghế. Có 10 thí sinh nam và 10 thí sinh nữ được xếp vào phòng thi đó. Người ta muốn xếp các thí sinh, mỗi thí sinh ngồi một bàn, sao cho mỗi hàng chỉ xếp các thí sinh cùng giới tính và thí sinh ở hai hàng liên tiếp thì khác giới tính với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho các thí sinh ?

Lời giải:

Ta cần phải xếp chỗ cho các thí sinh nam vào 2 hàng và các thí sinh nữ vào 2 hàng, hơn nữa giới tính của các hàng là xen kẽ nhau. Như vậy, nếu đánh số các hàng từ trên xuống là 1, 2, 3 và 4 thì người ta có 2 phương án:

– Phương án 1: xếp các thí sinh nam vào các hàng 1 và 3 còn các học thí sinh nữ vào các hàng 2 và 4;

– Phương án 2: xếp các thí sinh nam vào các hàng 2 và 4 còn các thí sinh nữ vào các hàng 1 và 3.

+) Đối với phương án 1, người ta có thể tiến hành qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 1 và 3;

– Công đoạn 2: xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 2 và 4.

Với công đoạn 1, người ta có thể xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì. Số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Tương tự, với công đoạn 2, người ta có thể xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Suy ra, theo quy tắc nhân, số cách xếp theo phương án 1 là:

10! . 10! = 3 628 800 . 3 628 800 = 13 168 189 440 000 (cách).

+) Đối với phương án 2, người ta có thể tiến hành qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 2 và 4;

– Công đoạn 2: xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ ngồi thuộc các hàng 1 và 3.

Với công đoạn 1, người ta có thể xếp 10 thí sinh nam vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì. Số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách).

Tương tự, với công đoạn 2, người ta có thể xếp 10 thí sinh nữ vào 10 chỗ theo một thứ tự bất kì và số cách xếp là: 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3 628 800 (cách)

Tương tự, số cách sắp xếp theo phương án 2 cũng là:

10! . 10! = 3 628 800 . 3 628 800 = 13 168 189 440 000 (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì số các cách xếp là:

13 168 189 440 000 + 13 168 189 440 000 = 26 336 378 880 000 (cách).

Bài 8.30 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Ông giám đốc vườn thú mua 10 con vật để nhốt vào 10 cái chuồng mới xây. Thế nhưng có 3 cái chuồng lại không vừa so với 5 con vật lớn nhất. Hỏi vị giám đốc có bao nhiêu cách nhốt 10 con vật, mỗi con trong một chuồng?

Lời giải:

5 con vật lớn nhất phải được nhốt vào các chuồng phù hợp với kích cỡ của chúng. Số chuồng như vậy là 10 – 3 = 7.

Để nhốt các con vật thì vị giám đốc có thể tiến hành qua 2 công đoạn như sau:

– Công đoạn 1: nhốt 5 con vật lớn nhất vào 5 trong 7 cái chuồng phù hợp với chúng;

– Công đoạn 2: nhốt 5 con vật còn lại vào 5 cái chuồng còn lại.

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách lấy ra 5 phần tử có thứ tự từ một tập hợp có 7 phần tử, nghĩa là bằng

$A_7^5=\frac{7!}{(7-5)!}=\frac{\mathrm{7.6.5.4.3.2}!}{2!}==\mathrm{7.6.5.4.3}=2520$ (cách).

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 5 phần tử, nghĩa là bằng:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 (cách)

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số cách nhốt là: 2 520 . 120 = 302 400 (cách).

Bài 8.31 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Một nhóm người gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ mua 6 chiếc vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau ?

Lời giải:

a)

Để tiện hình dung, ta đánh số các chiếc ghế từ trái qua phải 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Để các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ thì có hai phương án:

– Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 3 và 5, các bạn nam ngồi các ghế 2, 4 và 6;

– Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 4 và 6, các bạn nam ngồi các ghế 1, 3 và 5;

Ta hãy đếm số cách ngồi theo từng phương án. Với mỗi phương án, mỗi cách ngồi có được thực hiện qua 2 công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;

– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.

Số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi chính là số hoán vị của 3, nghĩa là:

3! = 3.2.1 = 6 (cách).

Tương tự, số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi là:

3! = 3.2.1 = 6 (cách).

Vì vậy, theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi của mỗi phương án là:

6.6 = 36 (cách).

Như vậy, theo quy tắc cộng thì tổng số các cách xếp chỗ là:

36 + 36 = 72 (cách).

b)

Để xếp các bạn nữ ngồi liên tiếp nhau, ta có 4 phương án:

– Phương án 1: các bạn nữ ngồi các ghế 1, 2 và 3;

– Phương án 2: các bạn nữ ngồi các ghế 2, 3 và 4;

– Phương án 3: các bạn nữ ngồi các ghế 3, 4 và 5;

– Phương án 4: các bạn nữ ngồi các ghế 4, 5 và 6.

Với mỗi phương án, việc xếp chỗ cho nhóm bạn có thể được thực hiện qua hai công đoạn:

– Công đoạn 1: xếp chỗ cho các bạn nữ;

– Công đoạn 2: xếp chỗ cho các bạn nam.

Tương tự như a), số cách xếp chỗ cho 3 bạn nữ vào 3 chỗ ngồi và số cách xếp chỗ cho 3 bạn nam vào 3 chỗ ngồi đều bằng 6.

Do đó, số cách xếp chỗ theo mỗi phương án đều là 36. Vì vậy, theo quy tắc cộng tổng số các cách ngồi là:

36 + 36 + 36 + 36 = 144 (cách).

Bài 8.32 trang 59 SBT Toán 10 Tập 2: Trong phần ca nhạc tại một cuộc gặp mặt của một nhóm bạn, hai người bất kì hát song ca đúng một lần với nhau trong 2 phút. Thời gian hát song ca kể từ lúc bắt đầu đến lúc kết thúc (coi các cặp hát nối tiếp nhau liên tục) là 30 phút. Hỏi nhóm bạn có bao nhiêu người ?

Lời giải:

Giả sử nhóm bạn gồm n người.

Số các cặp song ca chính là số các cách chọn ra 2 người từ n người đó (không sắp xếp thứ tự), nghĩa là bằng $C_n^2=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{\mathrm{2.1.}(n-2)!}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ .

Mỗi cặp song ca hát với nhau trong đúng 2 phút nên tổng thời gian hát, tính theo phút là:

$2.\frac{n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)$

Suy ra n(n – 1) = 30, hay (n + 5)(n – 6) = 0. Từ đó suy ra n = 6 hoặc n = –5.

Mà n là số tự nhiên lớn hơn 2 nên chọn n = 6.

Vậy, nhóm bạn có 6 người.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 58 Tập 2

Giải SBT Toán 10 trang 60 Tập 2