Giải SBT Toán 10 trang 51 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 51 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.

a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}.$ 

b) Xác định điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$ 

c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$ 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA}$  (vì E là trung điểm AC nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EA}$)

$=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\right)+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ EF // BC và $EF=\frac{1}{2}BC$ 

Mà D là trung điểm của BC nên $BD=\frac{1}{2}BC$ 

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, $\text{EF}=BD\left(=\frac{1}{2}BC\right)$ 

$\Rightarrow$ EFBD là hình bình hành

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}$

Khi đó: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}$

$=2\overrightarrow{DB}$ 

$\overrightarrow{CB}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}.$

b) Điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$

Mà $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CB}$ 

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1:

Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.

Cho biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=30N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N.$ Tính cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}.$ 

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và hợp lực $\overrightarrow{F}$ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có $\widehat{BAC}=90°$ nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|=AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}$ (định lí Pythagoras) 

Hay $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2}=\sqrt{{30}^2+{40}^2}=50$ (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{F_3}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|=50\left(N\right)$ 

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng 50 N.

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1:

Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ bằng 60°. Tính độ lớn của $\overrightarrow{F_3}$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2\sqrt{3}N.$ 

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và hợp lực $\overrightarrow{F}$ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ bằng 60° nên $\widehat{BAC}=60°$ 

Suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{ECA}=180°-\widehat{BAC} \\ =180°-60°=120° \end{gathered}$$ 

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos$\widehat{ECA}$ 

Hay $A{E}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2.2\sqrt{3}.2\sqrt{3}.c\text{os120}°$ 

$\Rightarrow$ AE² = 36

$\Rightarrow$ AE = 6

Do đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=6\left(N\right)$ 

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\overrightarrow{F_{}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|=6\left(N\right)$ 

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng 6 N.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 50 Tập 1