Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 2 trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 42.

1 223 09/12/2022


Giải SBT Toán 10 trang 42 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.23 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm M(0; –2).

Lời giải:

Xét đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0. Ta có:

Tâm I(a; b) với a = 6 : (–2) = –3, b = –4 : (–2) = 2, do đó, đường tròn (C) có tâm I(–3; 2).

Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; –2) và có vectơ pháp tuyến là nΔ=IM=3;4 . Phương trình của Δ là

3(x – 0) – 4(y + 2) = 0

3x – 4y – 8 = 0.

Bài 7.24 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm A(4; 2) và hai đường thẳng d: 3x + 4y – 20 = 0, d’: 2x + y = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và vuông góc với d.

b) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d' và tiếp xúc với d tại điểm A.

Lời giải:

a)

Dựa vào đề bài ta có do đường thẳng Δ vuông góc với d nên: uΔ=nd=3;4nΔ=4;3 .

Phương trình của Δ là:

4(x – 4) – 3(y – 2) = 0 

4x – 3y – 10 = 0.

b)

Gọi I là tâm của đường tròn (C).

Vì d tiếp xúc với (C) tại điểm A nên ta có IA d, do đó I thuộc Δ. Mặt khác, I thuộc đường thẳng d'. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình

4x3y10=02x+y=04x3y=102x+y=0x=1y=2

Do đó, I(1; –2)

Bán kính của (C) là: R=IA=412+222=5 .

Vậy phương trình của (C) là

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 52

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 25.

Bài 7.25 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C), đường thẳng Δ có phương trình lần lượt là:

(x – 1)2 + (y + 1)2 = 2; x + y + 2 = 0.

a) Chứng minh rằng Δ là một tiếp tuyến của đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d song song với đường thẳng Δ.

Lời giải:

Đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2 có

tâm I(1; –1)

bán kính R2 = 2 R=2 .

a)

Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là

dI,Δ=11+212+12=2

Ta có d(I, Δ) = R, do đó Δ là một tiếp tuyến của (C).

b)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng x + y + m = 0, trong đó m ≠ 2.

Để d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi

dI,d=R11+m12+12=2  |m| = 2 m = ± 2

Mà m ≠ 2 nên m = –2

Vậy phương trình của đường thẳng d là x + y – 2 = 0.

Bài 7.26 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng Δ: x . sinα° + y . cosα° – 1 = 0, trong đó α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng Δ.

b) Chứng minh rằng khi α thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng Δ.

Lời giải:

a)

Khoảng cách từ O(0; 0) đến đường thẳng Δ là

 dO,Δ=0.sinα°+ 0cosα° 1sinα°2+cosα°2=1

Do (sinαo)2 + (cosαo)2 = 1 với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180).

b)

Giả sử (C) là đường tròn có tâm O và bán kính R = 1.

Với α là một số thực thuộc khoảng (0; 180) có thể thay đổi thì có:

d(O, Δ) = 1 = R không đổi

nên (C) luôn tiếp xúc với Δ.

Vậy phương trình đường tròn (C) cần tìm là x2 + y2 = 1.

Bài 7.27 trang 42 SBT Toán 10 Tập 2: Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là (3 + 5sin t°; 4 + 5cos t°). Tìm toạ độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Lời giải:

Từ cách xác định toạ độ của chất điểm M ta có

xM=3+5sint°yM=4+5cost°xM3=5sint°yM4=5cost°

(xM – 3)2 + (yM – 4)2 = (5sin t°)2 + (5cos t°)2

(xM – 3)2 + (yM – 4)2 = 25(sin t°)2 + 25(cos t°)2

(xM – 3)2 + (yM – 4)2 = 25[(sin t°)2 + (cos t°)2]

(xM – 3)2 + (yM – 4)2 = 25.1

(xM – 3)2 + (yM – 4)2 = 25

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn (C) có tâm I(3; 4) và có bán kính R = 25  = 5. Mặt khác gốc toạ độ O(0; 0) cũng thuộc đường tròn (C).

Do đó ta có: OM ≤ 2R = 10

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi OM là đường kính của đường tròn (C), nghĩa là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với

xM=2xIxO=6yM=2yIyO=83+5sint°=64+5cost°=8

sint°=35cost°=45t37  (có t (0; 180)).

Vậy M(6; 8) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 41 Tập 2

1 223 09/12/2022


Xem thêm các chương trình khác: