Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC

Giải SBT Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 6 trang 53 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của $\widehat{B}$cắt AC ở D. So sánh độ dài AD và DC.

Lời giải

GT	$∆$ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của góc ABC (D ∈ AC).
KL	So sánh AD, CD.

Vẽ DH vuông góc với BC.

• Xét $∆$ABD và $∆$HBD có:

$\widehat{BA\text{D}}=\widehat{BHD}\left(=90°\right)$,

$\widehat{AB\text{D}}=\widehat{HBD}$ (do BD là tia phân giác của $\widehat{H}$),

BD là cạnh chung,

Do đó $∆$ABD = $∆$HBD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng).

• Vì $∆$DHC vuông tại H nên $\widehat{H}$ là góc lớn nhất.

Do đó cạnh huyển DC đối diện với góc H là cạnh lớn nhất (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).

Suy ra DC > DH.

Lại có DH = AD (chứng minh trên).

Nên DC > AD.

Vậy DC > AD.