Cho hình thang vuông ABCD có góc DAB=ABC= 90 độ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.65 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=90°,$ BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi E là hình chiếu của C trên AD. Khi đó $\widehat{CEA}=90°$

Tứ giác ABCE có $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{CEA}=90°$ nên là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ EA = CB = 1

Mà AD = 3 do đó AE = $\frac{1}{3}$AD

$\Rightarrow \overrightarrow{EA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

• Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED}$

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}$ (do ABCE là hình chữ nhật)

Và $\overrightarrow{ED}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ 

Vậy $\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$

b) Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó 

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ $\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{ID}$ ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên $9\overrightarrow{IC}=-5\overrightarrow{ID}$ hay $\overrightarrow{IC}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{ID}$

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

c) • Theo câu a ta có 

Mà AB ⊥ AD nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0$

Do đó ta có: 196AI² = 81AB² + 64AD²

$\Rightarrow$ 196AI² = 81.2² + 64.3² = 900

$\Rightarrow$ AI² = $\frac{225}{49}$

$\Rightarrow$ AI = $\frac{15}{7}$

• Ta có: 

Vậy AI = $\frac{15}{7}$ và BI = $\frac{13}{7}$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.39 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút...

Bài 4.40 trang 66 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C...

Bài 4.41 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm...

Bài 4.42 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1...

Bài 4.43 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3...

Bài 4.44 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4...

Bài 4.45 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC}=60°.$..

Bài 4.46 trang 67 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$...

Bài 4.47 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC...

Bài 4.48 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6)...

Bài 4.49 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2)...

Bài 4.50 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a...

Bài 4.51 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng khác $\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$  tương đương với...

Bài 4.52 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$\overrightarrow{0}$ cùng khác . Khi đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$ tương đương...

Bài 4.53 trang 68 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$...

Bài 4.54 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1)...

Bài 4.55 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2...

Bài 4.56 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1...

Bài 4.57 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a...

Bài 4.58 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn...

Bài 4.59 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M,  theo thứ tự là trung điểm của BC, AD...

Bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C...

Bài 4.61 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB}=60°.$... 

Bài 4.62 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD...

Bài 4.63 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B'...

Bài 4.64 trang 70 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song...

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng...

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy...

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2)...

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)...

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng...