- Giá trị hàm số tại một điểm: Một điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_{0} = a {x_{0}}^{2}$ . Khi đó, $y_{0}$ là giá trị hàm số tại điểm $x_{0}$ .

- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

+) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Tính giá trị hàm số tại một điểm cho trước.

Phương pháp giải:

Một điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_{0} = a {x_{0}}^{2}$ . Khi đó, $y_{0}$ là giá trị hàm số tại điểm $x_{0}$ .

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3 $x^{2}$ . Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

Gọi điểm có hoành độ bằng 3 là: A(3; y) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: y = 3. $3^{2}$ = 3.9 = 27

Vậy giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là y = 27

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -9 $x^{2}$ . Tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu thì giá trị của hàm số là y = -9.

Lời giải:

Gọi x là hoành độ của điểm mà tại đó giá trị của hàm số là y = -9.

Ta có: $- 9 = - 9 x^{2} \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Vậy tại x = 1 hoặc x = -1 thì giá trị của hàm số là y = -9.

Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phương pháp giải:

So sánh hệ số a với số 0, ta có:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 4 $x^{2}$

Lời giải:

Ta có hệ số a = 4 > 0

Vậy hàm số nghịch biến x < 0 và đồng biến khi x > 0

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -5 $x^{2}$

Lời giải:

Ta có hệ số a = -5 < 0

Vậy hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tham số m.

Phương pháp giải:

Sử dụng các kiến thức về hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) để biện luận tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Một điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_{0} = a {x_{0}}^{2}$ . Khi đó, $y_{0}$ là giá trị hàm số tại điểm $x_{0}$ .

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số y = (m + 1) $x^{2}$ (m là tham số và m khác 0) đi qua điểm E(5; 50). Hãy tính giá trị của hàm số tại x = 7.

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = (m + 1) $x^{2}$ (m là tham số và m khác 0) đi qua điểm E(5; 50)

Nên ta có giá trị của hàm số tại x = 5 là y = 50

$\Rightarrow 50 = (m + 1) {.5}^{2} \Leftrightarrow 50 = (m + 1) 25$

$\Leftrightarrow m + 1 = \frac{50}{25} \Leftrightarrow m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Giá trị của hàm số y = 2 $x^{2}$ tại x = 7 là: y = 2. $7^{2}$ = 2.49 = 98

Vậy giá trị của hàm số tại x = 7 là y = 98

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (2m – 3) $x^{2}$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 .

Lời giải:

Hàm số y = (2m – 3) $x^{2}$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 khi và chỉ khi hệ số a = 2m – 3 < 0

$\Leftrightarrow$ 2m < 3

$\Leftrightarrow m < \frac{3}{2}$

Vậy khi $m < \frac{3}{2}$ thì hàm số y = (2m – 3) $x^{2}$ hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 .

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Tìm giá trị hàm số y = -7 $x^{2}$ tại x = 7.

Bài 2: Tìm giá trị hàm số y = 8 $x^{2}$ tại x = 0.

Bài 3: Tìm điểm A(x; 8) thuộc đồ thị hàm số y = 2 $x^{2}$ . Biết điểm A có hoành độ dương.

Bài 4: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = -12 $x^{2}$ .

Bài 5: Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số y = 5 $x^{2}$ .

Bài 6: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = 11 $x^{2}$ .

Bài 7: Tìm giá trị của tham số m, biết hàm số y = (m – 2) $x^{2}$ đi qua điểm B(3; 6).

Bài 8: Cho hàm số y = (2m – 4) $x^{2}$ đi qua điểm C(3; 9). Tính giá trị của hàm số tại x = 2.

Bài 9: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = (4m – 1) $x^{2}$ đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x > 0 .

Bài 10: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = |m – 3| $x^{2}$ nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x > 0 .

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa góc nội tiếp

- Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn là góc nội tiếp.

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Góc $\hat{B A C}$ có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) và AB, AC là hai cạnh của góc cũng là hai dây của đường tròn. Do vậy $\hat{B A C}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O).

2. Định lý

- Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (có số đo nhỏ hơn hoặc bằng $90 °$ ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng.

Phương pháp giải: Dùng hệ quả trong phần tóm tắt lí thuyết để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AM.

a) Tính $\hat{A C M}$ .

b) Chứng minh $\hat{B A H} = \hat{O C A}$ .

Lời giải:

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A C M}$ có đỉnh C nằm trên đường tròn (O)

AC và BC là dây của đường tròn (O)

Do đó $\hat{A C M}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O)

Mặt khác AM là đường kính nên $\hat{A C M}$ là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn

$\Rightarrow \hat{A C M} = 90 °$ (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).

b) $\hat{A B C}$ có đỉnh B nằm trên đường tròn (O) và BA, BC là hai dây của đường tròn

Do đó $\hat{A B C}$ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn $\overset{⏜}{A C}$ .

Đặt góc $\hat{A B C} = x (0 < x < 90 °)$

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$\hat{B A H} + \hat{A B H} + \hat{A H B} = 180 °$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Leftrightarrow \hat{B A H} + x + 90 ° = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{B A H} = 180 ° - 90 ° - x$

$\Leftrightarrow \hat{B A H} = 90 ° - x$ (1)

Lại có $\hat{A O C}$ là góc ở tâm chắn cung $\overset{⏜}{A C}$ và $\hat{A B C}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{⏜}{A C}$

$\Rightarrow \hat{A O C} = 2. \hat{A B C} = 2 x$

Xét tam giác OAC có:

OA = OC

=> tam giác OAC cân tại O

$\Rightarrow \hat{O A C} = \hat{O C A}$

Ta có:

$\hat{O A C} + \hat{O C A} + \hat{A O C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

$\Leftrightarrow 2 \hat{O C A} + 2 x = 180 °$

$\Leftrightarrow 2 (\hat{O C A} + x) = 180 °$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} + x = 180 ° : 2$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} + x = 90 °$

$\Leftrightarrow \hat{O C A} = 90 ° - x$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{O C A} = \hat{B A H}$

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường (O). Qua điểm I nằm ngoài đường tròn ta vẽ các dây cung AB và CD sao cho A nằm giữa B và I; C nằm giữa I và D.

a) So sánh các cặp góc $\hat{A C I}$ và $\hat{A B D}$ ; $\hat{C A I}$ và $\hat{C D B}$ .

b) Chứng minh tam giác IAC đồng dạng với tam giác IDB.

c) Chứng minh IA.IB = IC.ID.

Lời giải:

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A B D}$ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ.

$\Rightarrow \hat{A B D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ (định lí) (1)

Lại có: $\hat{A C D}$ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn $\overset{⏜}{A D}$ lớn.

$\Rightarrow \hat{A C D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ lớn (định lí) (2)

Ta có:

sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ + sđ $\overset{⏜}{A D}$ lớn $= 360 °$

=> $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ nhỏ + $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⏜}{A D}$ $= 180 °$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \hat{A C D} + \hat{A B D} = 180 °$ (4)

Ta có $\hat{A C D} + \hat{A C I} = 180 °$ (do hai góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow \hat{A B D} = \hat{A C I}$ (hai góc cùng bù với góc $\hat{A C D}$ ).

Chứng minh tương tự cho hai góc $\hat{C A I}$ và $\hat{C D B}$ (hai góc cùng bù với góc $\hat{B A C}$ )

$\Rightarrow \hat{C A I} = \hat{C D B}$ .

b) Vì I, A, B thẳng hàng nên $\hat{A B D} = \hat{I B D}$ , do đó $\hat{I B D} = \hat{A C I}$

Vì I, C, D thẳng hàng nên $\hat{C D B} = \hat{I D B}$ , do đó $\hat{I D B} = \hat{C A I}$

Xét hai tam giác IDB và tam giác IAC có:

$\hat{I B D} = \hat{A C I}$ (chứng minh trên)

$\hat{I D B} = \hat{C A I}$ (chứng minh trên)

Do đó $Δ I D B$ đồng dạng với $Δ I A C$ (g – g)

c) Vì $Δ I D B$ đồng dạng với $Δ I A C$ $\Rightarrow \frac{I D}{I A} = \frac{I B}{I C}$ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

=> IA.IB = IC.ID

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Sử dụng các định lí, tính chất, hệ quả của góc ở tâm, góc nội tiếp.

Áp dụng quan hệ từ vuông góc đến song song, tiên đề Ơ clit.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi P là giao điểm của BM và AN. Chứng minh SP vuông góc với AB.

Lời giải:

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

Vì $\hat{A M B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \hat{A M B}$ là góc vuông

$\Rightarrow B M ⊥ S A$

$\Rightarrow B M$ là đường cao của tam giác SAB.

Vì $\hat{A N B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \hat{A N B}$ là góc vuông

$\Rightarrow A N ⊥ S B$

$\Rightarrow A N$ là đường cao của tam giác SAB

Giao điểm của BM và AN là trực tâm tam giác SAB.

=> P là trực tâm của tam giác SAB.

$\Rightarrow S P ⊥ A B$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.

a) Tam giác ABE là tam giác gì?

b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh OD vuông góc với AK.

Lời giải:

Bài tập về góc nội tiếp và cách giải – Toán lớp 9 (ảnh 1)

a) Ta có:

$\hat{A D B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \hat{A D B}$ là góc vuông

$\Rightarrow \hat{A D B} = 90 °$

Xét tam giác ABE có:

$\hat{A D B} = 90 °$ nên $B D ⊥ A E$

=> BD là đường cao của tam giác ABE. (1)

Mặt khác A đối xứng với E qua D nên D là trung điểm cuả AE

=> BD là đường trung tuyến của tam giác ABE. (2)

Từ (1) và (2) ta thấy BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABE

=> Tam giác ABE là tam giác cân tại B.

b) Ta có:

D là trung điểm của AE

O là trung điểm của AB

Do đó DO là đường trung bình của tam giác ABE

=> DO // EB.

Lại có $\hat{A K B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

$\Rightarrow \hat{A K B}$ là góc vuông.

$\Rightarrow \hat{A K B} = 90 °$

$\Rightarrow A K ⊥ B E$

Ta có:

$\{\begin{cases} A K ⊥ B E \\ D O / / B E \end{cases} \Rightarrow A K ⊥ D O$ (quan hệ từ vuông góc đến song song).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm $O_{1}$ , đường kính AH và đường tròn $O_{2}$ , đường kính BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ lần lượt tại P và Q. Chứng minh:

a) MH = PQ;

b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;

c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ .

Bài 2: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB; BC; CA. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC. Gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai dây song song AB, CD. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Chứng minh $\hat{A M C} = \hat{B M D}$ .

Bài 4: Cho đường tròn (O) và hai dây AM và BM vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Bài 5: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Chứng minh $A B^{2} = A H . A D$ .

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.

c) Chứng minh AH = 2OM.

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15cm, AH = 5cm. Tính bán kính đường tròn (O).

Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Chứng minh: AB.AC = AH.AD.

Bài 9: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính MN vuông góc với BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác của góc trong và các góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Bài 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.

a) Chứng minh CH vuông góc với AB.

b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bài 12: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D.

a) Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trên.

b) Đường tròn (I) cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứu hai là M, N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng.

c) Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa C.

Xem thêm:

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022 đề số 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ và $B = (\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}) . \frac{x - \sqrt{x}}{2 \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0$ , $x \neq 1$ .

1) Tính giá trị của A khi $x = \frac{9}{4}$

2) Rút gọn B

3) Với $x \in ℕ$ và $x \neq 1$ hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A.B

Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Nhà bạn Mai có một mảnh vườn, được chia thành nhiều luống, mỗi luống trồng số lượng cây bắp cải như nhau. Mai tính rằng nếu tăng thêm 7 luống nhưng mỗi luống trồng ít đi 2 cây thì số lượng cây bắp cải toàn vườn giảm 9 cây; còn nếu giảm đi 5 luống nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cải toàn vườn sẽ tăng thêm 15 cây. Hỏi vườn nhà Mai hiện trồng tổng cộng bao nhiêu cây bắp cải?

Bài 3 (2,0 điểm):

1) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{9}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{3}{y + 1} = 2 \\ \frac{4}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$

2) Cho đường thẳng $d : y = 2 x + m^{2} - 1$ và parabol $(P) : y = x^{2}$ (với m là tham số) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành.Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK bằng 3 (đơn vị độ dài)

Bài 4 (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho C khác A và AC < CB. Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho $\hat{C O D} = 90^{0} .$ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.

1) Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh FC.FA = FD.FB

3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)

4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?

Bài 5 (0,5 điểm): Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn $\frac{x}{2} + \frac{y}{8} \leq 2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = \frac{x}{y} + \frac{2 y}{x}$

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022 đề số 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Câu 1: (2 điểm): Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}}{1 + 3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{x + 3}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}$ với $x \geq 0; x \neq 9$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = \frac{4}{9}$

b) Rút gọn biểu thức B

c) ChoP = B : A. Tìm x để P < 3.

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ xong công việc đó?

Câu 3 (2,5 điểm):

1) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{2 x - 1} + \frac{4}{y + 5} = 3 \\ \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2}{y + 5} = - 5 \end{cases}$

2) Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 m = 0$ (1) (x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x₁, x₂. Tìm giá trị của m để x₁, x₂ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $\sqrt{12}$

Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kỳ (E khác A và C). Kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F.

1) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh KH song song với ED và tam giác ACF là tam giác cân.

3) Tìm vị trí của điểm E để diện tích tam giác ADF lớn nhất.

Câu 5 (0,5 điểm): Giải phương trình $\sqrt{5 x^{2} + 4 x} - \sqrt{x^{2} - 3 x - 18} = 5 \sqrt{x}$

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022 đề số 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (2,0 điểm): Cho các biểu thức $P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5 \sqrt{x} + 6}$ và $Q = 1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0; x \neq 4; x \neq 9$

a) Tính giá trị của biểu thức Q khi $x = 4 + 2 \sqrt{3}$

b) Rút gọn biểu thức T = P : Q

c) Tìm x để $\frac{1}{T}$ có giá trị nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Bạn An dự định thực hiện công việc quét sơn cho 40m²tường trong một thời gian nhất định. Tuy nhiên, khi thực hiện mỗi giờ bạn An quét được ít hơn dự định là 2m² do đó bạn đã hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch là một giờ. Hỏi nếu đúng kế hoạch thì bạn An hoàn thành công việc trong bao lâu?

Câu 3 (2,5 điểm):

1) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{2 x - y} + x + 3 y = \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2 x - y} - 5 (x + 3 y) = - 3 \end{cases}$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng $(d) : y = m x - 2 m + 3$ và parabol $(P) : y = x^{2}$

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂thỏa mãn $x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{1} = 5$

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để (d) và (P) không có điểm chung.

Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh $AF . AB = AE . AC$

3) BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN

4) Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất.

Câu 5 (0,5 điểm):Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + 1} + \frac{1}{z^{2} + 1} + \frac{1}{t^{2} + 1}$

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022 đề số 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3 x + 3}{x - 9}$ với $x > 0; x \neq 9$

a) Tính giá trị của A khi x = 25

b) Rút gọn biểu thức P = B : A

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Câu 2 (2 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc nhiều hơn thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 4 giờ. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu hoàn thành công việc?

Câu 3 (2 điểm): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = x - m + 3$

1) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

3) Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1})$ và $N (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} = 3 (x_{1} + x_{2})$

Câu 4: (3,5 điểm) Cho (O) đường kính AB = 2R, xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là một đường kính bất kỳ . Gọi giao điểm của AC, AD với xy theo thứ tự là M và N.

1) Chứng minh rằng tứ giác MCDN nội tiếp.

2) Chứng minh AC.AM = AD.AN

3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm của MN. Chứng minh rằng tứ giác AOIH là hình bình hành. Khi đường kính CD quya xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?

4) Khi góc AHB bằng 60^o. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành khi hình bình hành AHIO quay quanh cạnh AH theo R.

Câu 5 (0,5 điểm): Cho $x \geq 0; y \geq 0$ và $x + y = 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1}$

Đề thi Toán lớp 9 Học kì 2 năm 2022 đề số 5

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Học kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán 9

Thời gian làm bài: 45 phút

Bài 1 (2,5 điểm): Cho biểu thức $A = \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{x - 3 \sqrt{x} + 4}{x - 22} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0; x \neq 4$ .

a) Tính giá trị của A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B

c) Cho $P = \frac{B}{A}$ . Tìm x để $|P| > P$ .

Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xí nghiệp theo kế hoạch phải sản xuất 75 sản phẩm trong một số ngày dự định. Trong thực tế, do cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày xí nghiệp làm vượt mức 5 sản phẩm, vì vậy không những họ đã làm được 80 sản phẩm mà còn hoàn thành sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xí nghiệp đó sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Câu 3 (2,5 điểm): Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = (2 m + 1) x - 2 m$

a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M (x_{1}; y_{1})$ và $N (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1$

Câu 4 (3,0 điểm): Cho điểm M cố định nằm bên ngoài đường tròn (O; R). Qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB.

1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.

2) AC cắt DE tại P; BC cắt DF tại Q. Chứng minhsuy ra

3) Chứng minh AB // PQ

4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trọng tâm G của tam giác ABC di chuyển trên đường nào?

Câu 5 (0,5 điểm): Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $a + b + c = 7,$ $a b + b c + c a = 15.$

Chứng minh rằng: $a \leq \frac{11}{3}$

1 559 lượt xem

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3