Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC.

a) Chứng minh $\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$.

b) Chứng minh tam giác BDE đồng dạng với tam giác CDB.

c) Tính tổng $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}$ bằng hai cách

Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b)

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác

Lời giải:

a)

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2=a^2+a^2=2a^2 \\ \Rightarrow BD=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

Ta có: $\frac{DE}{DB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\begin{gathered} \frac{DB}{DC}=\frac{a\sqrt{2}}{a+a}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC} \end{gathered}$$

b)

Xét tam giác BDE và tam giác CDB

$\frac{DE}{DB}=\frac{DB}{DC}$

Góc $\widehat{BDE}$ chung

Do đó, tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh

c)

Xét tam giác ABD vuông tại A

Có AB = AD = a

Do đó, tam giác ABD vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat{BDA}=\widehat{ABD}={45}^o$

tam giác BDE và tam giác CDB đồng dạng

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{CBD}$

Mặt khác:

$$\begin{gathered} \widehat{AEB}+\widehat{BCD} \\ =\widehat{BED}+\widehat{BCD}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD} \left(3\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác BCD

$\widehat{ADB}=\widehat{CBD}+\widehat{BCD}=\widehat{ADB}={45}^o$ (4)  

(tính chất góc ngoài)

Từ (3) và (4) ta suy ra  $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}={45}^o$

Cách 2:

Ta có: AE = AD + DE = 2a

Xét tam giác ABE vuông tại A

Ta có:

$$\begin{gathered} \tan \widehat{AEB}=\frac{AB}{AE}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \widehat{AEB}\approx {26}^{o}34\text{'} \end{gathered}$$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

$$\begin{gathered} \tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \widehat{ACB}\approx {18}^{o}26\text{'} \end{gathered}$$

Suy ra $\widehat{AEB}+\widehat{ACB}$

$={26}^{o}34\text{'}+{18}^{o}26\text{'}={45}^o$

Vậy $\widehat{AEB}+\widehat{BCD}=\widehat{AEB}+\widehat{ACB}={45}^o$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 80 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$...

Bài 81 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức...

Bài 82 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9...

Bài 83 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân...

Bài 85 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: (h.31) Tính góc $\alpha$ tạo bởi hai mái nhà...

Bài 86 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 32...

Bài 87 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={20}^o$, $\widehat{B}={30}^o$,...

Bài 88 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B...

Bài 89 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm...

Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm...

Bài 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau...

Bài 92 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 93 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 94 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD...

Bài 95 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng ${120}^o$...

Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A...

Bài 98 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm...

Bài 99 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài I.1 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={105}^o$, $\widehat{B}={45}^o$,...

Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a...

Bài I.3 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH...

Bài I.4 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hình bình hành ABCD có $\widehat{A}={120}^o$...

Bài I.5 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C...