Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH,CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} HD\perp AB\Rightarrow \widehat{ADH}={90}^o \\ HE\perp AC\Rightarrow \widehat{AEH}={90}^o \end{gathered}$$

Do đó, tứ giác ADHE có 3 góc vuông (thêm góc $\widehat{DAE}={90}^o$) nên nó là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ AH = DE

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$$\begin{gathered} A{H}^2=HB.HC=4.9=36 \\ \Rightarrow AH=\sqrt{36}=6 \left(cm\right) \end{gathered}$$

Vậy DE = AH = 6cm

b) Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (do ADHE là hình chữ nhật)

Do đó, tam giác GHD cân tại G

Ta có:

$\widehat{GDH}=\widehat{GHD}$ (1)

$\widehat{GDH}+\widehat{MDH}={90}^o$ (2)

$\widehat{GHD}+\widehat{MHD}={90}^o$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:  

$\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$(4)

Do đó, tam giác MDH cân tại M

$\Rightarrow$ MD = MH (5)

Lại có:

$\widehat{MDH}+\widehat{MDB}={90}^o$ (6)

$\widehat{MBD}+\widehat{MHD}={90}^o$ (7)

Từ  (4), (6), (7) ta suy ra:  

$\widehat{MBD}=\widehat{MDB}$

Do đó, tam giác MBD cân tại M

$\Rightarrow$ MB = MD (8)

Từ (5) và (8) ta suy ra

MB = MH hay M là trung điểm của BH

Mặt khác:

Tam giác GHE cân tại G (do GH = GE)

$\Rightarrow \widehat{GHE}=\widehat{GEH}$ (9)

$\widehat{GHE}+\widehat{NHE}={90}^o$ (10)

$\widehat{GEH}+\widehat{NEH}={90}^o$ (11)

Từ (9), (10), (11) suy ra  

$\widehat{NHE}=\widehat{NEH}$(12)

Do đó, tam giác NEH cân tại N  

$\Rightarrow NE=NH$(13)

Lại có:

$\widehat{NEC}+\widehat{NEH}={90}^o$ (14)

$\widehat{NHE}+\widehat{NCE}={90}^o$ (15)

Từ (12), (14), (15) ta suy ra $\widehat{NEC}=\widehat{NCE}$

Do đó, tam giác NCE cân tại N (16)

Từ (13) và (16) suy ra:

NC = NH hay N là trung điểm của CH

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow DM=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}.4=2$ (cm)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow EN=\frac{1}{2}CH=\frac{1}{2}.9=4,5$ (cm)

Mà $MD\perp DE,NE\perp DE$ nên MD // NE

Do đó, DEMN là hình thang

$$\begin{gathered} S_{DEMN}=\frac{DM+NE}{2}.DE \\ =\frac{2+4,5}{2}.6=19,5\left(c{m}^2\right) \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 80 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$...

Bài 81 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức...

Bài 82 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9...

Bài 83 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân...

Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a...

Bài 85 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: (h.31) Tính góc $\alpha$ tạo bởi hai mái nhà...

Bài 86 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 32...

Bài 87 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={20}^o$, $\widehat{B}={30}^o$,...

Bài 88 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B...

Bài 89 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm...

Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm...

Bài 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau...

Bài 92 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 93 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 94 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD...

Bài 95 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng ${120}^o$...

Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A...

Bài 98 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm...

Bài 99 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài I.1 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={105}^o$, $\widehat{B}={45}^o$,...

Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a...

Bài I.3 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH...

Bài I.4 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hình bình hành ABCD có $\widehat{A}={120}^o$...

Bài I.5 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C...