Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính $\cos \widehat{MAN}$.

Lời giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC nên

BM = MC = DN = NC = 2a : 2 = a

Xét tam giác AND vuông tại D (do ABCD là hình vuông)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{N}^2=A{D}^2+D{N}^2 \\ ={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2 \\ \Rightarrow AN=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5} \end{gathered}$$

Xét tam giác ABM vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2 \\ ={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2 \\ \Rightarrow AM=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5} \end{gathered}$$

Kẻ đường cao MH của tam giác AMN

Xét tam giác MHA vuông tại H

Ta có:

$$\begin{gathered} \sin \widehat{NAM}=\frac{HM}{AM} \\ \Rightarrow HM=AM.\sin \widehat{NAM} \end{gathered}$$

Diện tích tam giác AMN là:

$$\begin{gathered} S_{AMN}=\frac{1}{2}AN.MH \\ =\frac{1}{2}AN.AM.\sin \widehat{NAM} \\ =\frac{1}{2}.a\sqrt{5}.a\sqrt{5}.\sin \widehat{NAM} \\ =\frac{5a^2}{2}\sin \widehat{NAM} \end{gathered}$$

Mặt khác:

$$\begin{gathered} S_{AMN}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{ADN}-S_{MNC} \\ =A{B}^2-\frac{1}{2}AB.BM-\frac{1}{2}AD.DN-\frac{1}{2}MC.NC \\ =4a^2-\frac{1}{2}2a.a-\frac{1}{2}2a.a-\frac{1}{2}a.a \\ =\frac{3}{2}{a}^2 \end{gathered}$$

Có: $S_{AMN}=\frac{5a^2}{2}.\sin \widehat{NAM}-\frac{3a^2}{2}$

$\Rightarrow \sin \widehat{NAM}=\frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{5a^2}{2}}=\frac{3}{5}$

Mà: ${\sin }^2\widehat{NAM}+co{s}^2\widehat{NAM}=1$

$\Rightarrow co{s}^2\widehat{NAM}=1-{\sin }^2\widehat{NAM}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow cos\widehat{NAM}=\sqrt{1-{\sin }^2\widehat{NAM}} \\ =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 80 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$...

Bài 81 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức...

Bài 82 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9...

Bài 83 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân...

Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a...

Bài 85 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: (h.31) Tính góc $\alpha$ tạo bởi hai mái nhà...

Bài 86 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 32...

Bài 87 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={20}^o$, $\widehat{B}={30}^o$,...

Bài 88 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B...

Bài 89 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm...

Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm...

Bài 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau...

Bài 92 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 93 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 94 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD...

Bài 95 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng ${120}^o$...

Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A...

Bài 98 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm...

Bài 99 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài I.1 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={105}^o$, $\widehat{B}={45}^o$,...

Bài I.3 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH...

Bài I.4 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hình bình hành ABCD có $\widehat{A}={120}^o$...

Bài I.5 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C...