Hình bình hành ABCD có góc A bằng 120 độ

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Ôn tập chương 1

Bài I.4 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hình bình hành ABCD có $\widehat{A}={120}^o$, AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên

$$\begin{gathered} \widehat{DCB}=\widehat{DAB}={120}^o \\ \widehat{ABC}=\widehat{ADC}={180}^o-\widehat{BAD} \\ ={180}^o-{120}^o={60}^o \end{gathered}$$

Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ

Nên ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{ADM}=\widehat{MAB}=\widehat{ABP}=\widehat{CBP} \\ =\frac{{60}^o}{2}={30}^o \\ \widehat{DAM}=\widehat{BAM}=\widehat{DCP}=\widehat{PCB} \\ =\frac{{120}^o}{2}={60}^o \end{gathered}$$

Xét tam giác ADM có:

$\widehat{MDA}+\widehat{MAD}={30}^o+{60}^o={90}^o$

Nên $\widehat{AMD}={180}^o-(\widehat{MAD}+\widehat{MDA})$

$={180}^o-{90}^o={90}^o$

Xét tam giác DNC có:

$\widehat{NDC}+\widehat{NCD}={30}^o+{60}^o={90}^o$

Nên $\widehat{DNC}={180}^o-(\widehat{NDC}+\widehat{NCD})$

$={180}^o-{90}^o={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{MNP}={90}^o$

Xét tam giác BPC có:

$\widehat{PBC}+\widehat{PCB}={30}^o+{60}^o={90}^o$

Nên $\widehat{BPC}={180}^o-(\widehat{PBC}+\widehat{PCB})$

$={180}^o-{90}^o={90}^o$

$\Rightarrow BP\perp CN\Rightarrow \widehat{NPQ}={90}^o$

Từ đó ta suy ra tứ giác MNPQ có 3 góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật

Xét tam giác vuông ADM có:

$$\begin{gathered} DM=AD.\sin \widehat{DAM} \\ =b\sin {60}^o=\frac{b\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Xét tam giác DCN vuông tại N (do N là giao của đường phân giác góc D và đường phân giác góc C)

$$\begin{gathered} DN=DC.\sin \widehat{DCN} \\ =a\sin {60}^o=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ MN=DN-DM=(a-b)\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Xét tam giác vuông DCN có:

$$\begin{gathered} CN=DC.\cos \widehat{DCN} \\ =CD.cos{60}^o=\frac{a}{2} \end{gathered}$$

Xét tam giác BCP vuông tại B (do P là giao của đường phân giác góc C và đường phân giác góc B)

Có: $CP=CB.\cos \widehat{PCB}=CB.cos{60}^o=\frac{b}{2}$

$NP=CN-CP=\frac{a-b}{2}$

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

$$\begin{gathered} MN.NP=(a-b).\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\left(a-b\right)}{2} \\ ={(a-b)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 80 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tính $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$...

Bài 81 trang 119 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy đơn giản các biểu thức...

Bài 82 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9...

Bài 83 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân...

Bài 84 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a...

Bài 85 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: (h.31) Tính góc $\alpha$ tạo bởi hai mái nhà...

Bài 86 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình 32...

Bài 87 trang 120 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={20}^o$, $\widehat{B}={30}^o$,...

Bài 88 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B...

Bài 89 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm...

Bài 90 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm...

Bài 91 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau...

Bài 92 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 93 trang 121 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC...

Bài 94 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình thang ABCD...

Bài 95 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng ${120}^o$...

Bài 96 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 97 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông ở A...

Bài 98 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm...

Bài 99 trang 122 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC...

Bài tập bổ sung:

Bài I.1 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tam giác ABC có $\widehat{A}={105}^o$, $\widehat{B}={45}^o$,...

Bài I.2 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a...

Bài I.3 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH...

Bài I.5 trang 123 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C...