Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Toán 10 Chân trời sáng tạo
Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° - Chân trời sáng tạo
A. Lý thuyết
1. Giá trị lượng giác
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (; ) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = ;
- Hoành độ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = ;
- Tỉ số ( ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là
- Tỉ số ( ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
Ta có .
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là
Theo định nghĩa ta có:
Chú ý:
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.
Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° ‒ α) = sinα;
cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).
Ví dụ 3.
a) Biết . Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Suy ra:
(vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau) (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau) (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);
b) Ta có: tan45° = 1.
Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = .sin90° + .cos90° + .cos180°;
b) B = 3 – 135° + 2120° ‒ 3150°.
Hướng dẫn giải
a) A =.sin90° + .cos90° + .cos180°
A = . 1+ .0 +.(‒1)
A = ‒ .
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150°
B = 2.
Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b) cosα = ‒1;
c) tanα = 0;
d)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: α = 45° hoặc α = 135°.
b) cosα = ‒1α = 180°.
c) tanα = 0α = 0° hoặc α = 180°.
d) α = 120°.
4. Sử dụng máy tính cầm tay về tính giá trị lượng giác của một góc
Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.
Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên một loại máy tính cầm tay như sau:
Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.
Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc là “độ”.
Ấn các phím để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây:
4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.
Hướng dẫn giải
- Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây
:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy sin125° ≈ 0,81915204429.
- Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948.
- Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426.
- Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071.
4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7 cotα = 1,7.
Hướng dẫn giải
- Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.
Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.
Ta bấm máy tính như sau:
- Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.
- Để tìm α khi biết ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với thì α ≈ 54°44'8''.
- Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính , ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính giá trị biểu thức:
a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°.
b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°;
c)
Hướng dẫn giải
a) A = sin30°.cos45°.sin60° ‒ cos120°.tan135°.cot150°
b) B = cos0° + cos20° + cos40° + … + cos160° + cos180°
B = (cos0° + cos180°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°)
B = (cos0° ‒ cos0°) + (cos20° ‒ cos20°) + … + (cos80° ‒ cos80°) (hai góc bù nhau)
B = 0.
c)
C = 0 + tan2x ‒ tan2x
C = 0.
Bài 2. Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°) với . Tính giá trị biểu thức:
Hướng dẫn giải
Với ta có α = 120°.
Suy ra:
Do đó:
Vậy
Bài 3.
a) Chứng minh rằng với mọi góc 0° ≤ α ≤ 180° ta luôn có: sin2α + cos2α = 1.
b) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
a) Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (; ) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = ;
- Hoành độ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = ;
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy.
Khi đó ta có: OH = = cosα, MH = OK = = sinα, OM = 1.
Tam giác OMH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:
Hay sin2α + cos2α = 1.
Vậy sin2α + cos2α = 1.
b) Vì = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác) nên: = 180° ‒ .
Suy ra .
Ta có:
= 1 + 1 (do sin2α + cos2α = 1 theo câu a)
= 2
Vậy
Bài 4. Sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện các yêu cầu sau:
a) Tính sin95°7'16'', cos22°12'21'', tan27°22', cot24°.
b) Tìm β biết (0° < β < 180°) trong các trường hợp:
i) cosβ = ‒0,19;
ii) tanβ = 1,2.
Hướng dẫn giải
a) - Để tính sin95°7'16'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy sin95°7'16'' ≈ 0,99600824395.
- Để tính cos22°12'21'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cos22°12'21'' ≈ 0,92583211171.
- Để tính tan27°22', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy tan27°22' ≈ 0,51761289576.
- Để tính cot24°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cot24° ≈ 2,2460367739.
b) - Để tìm β khi biết cosβ = ‒0,19, ta ấn liên tiếp các phím sau đây
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với cosβ = ‒0,19 thì β ≈ 100°57'10''.
- Để tìm β khi biết tanβ = 1,2, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với tanβ = 1,2 thì β ≈ 50°11'40''.
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 2: Định lí côsin và định lí sin
Lý thuyết Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Lý thuyết Bài tập cuối chương 4
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Chân trời sáng tạo
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Văn mẫu lớp 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Tiếng Anh 10 Friends Global – Chân trời sáng tạo
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 Friends Global đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết Địa Lí 10 - Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề Kinh tế và pháp luật 10 – Chân trời sáng tạo
- Lý thuyết KTPL 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Chân trời sáng tạo