Lý thuyết Giải tam giác và ứng dụng thực tế – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Với lý thuyết Toán lớp 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 10

1 1,936 03/01/2023
Tải về


Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết

1. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC biết AB = 45, AC = 32 và A^=60°. 

Hướng dẫn giải

+) Theo định lí côsin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 452 + 322 – 2.45.32.cos60°

Þ BC2 = 1609.

Þ BC ≈ 40,11.

+) Theo định lí sin ta có:BCsinA=ACsinB

40,11sin60°=32sinB 

sinB=32.sin60°40,110,69 

B^ 44° (không thể xảy ra trường hợp B^136° do A^+B^>180°)

Xét tam giác ABC có A^=60°,B^=44° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

C^=180°A^B^ 

C^=180°60°44°=76°

Vậy BC ≈ 40,11; B^44° C^76°. 

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Ví dụ 2. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26 mét và cách cột còn lại 23 mét, sút vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành trên.

Hướng dẫn giải

Vị trí cầu thủ C và khung thành AB được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Gọi α là góc nhìn của cầu thủ C tới hai cột khung thành A và B, tức là α=ACB^. 

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosα=AC2+BC2AB22.AC.BC=232+262522.23.260,9866 

Suy ra α ≈ 9°23'.

Vậy góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành là khoảng 9°23'.

Ví dụ 3. Từ hai vị trí A và B của một toà nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30'. Tính độ cao của ngọn núi.

Hướng dẫn giải

Ta có BAC^=BAH^CAH^BAC^=90°30°=60°.

ABC^=90°+15°30'=105°30' 

Xét tam giác ABC ta có:

BAC^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

ACB^=180°BAC^ABC^ 

ACB^180°60°105°30'=14°30'

Áp dụng định lí sin ta có: ACsinABC^=ABsinACB^ 

ACsin105°30'=70sin14°30' 

AC=70.sin105°30'sin14°30' 

Þ AC ≈ 269,4 (m)

Tam giác ACH vuông tại H ta có: CH=AC.sinCAH^269,4.sin30°134,7m 

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải tam giác ABC biết AC = 16, A^=60° B^=50°. 

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có A^=60°,B^=50° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

C^=180°A^B^ 

C^=180°60°50°=70°

Theo định lí sin ta có: BCsinA=ACsinB=ABsinC

BCsin60°=16sin50°=ABsin70° 

 BC=16.sin60°sin50°18,1AB=16.sin70°sin50°19,6 

Vậy C^=70°,BC18,1 và AB ≈ 19,6.

Bài 2. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B đều có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40 m, A^=45° B^=70°. Tính khoảng cách AC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có A^=45°,B^=70° ta có:

A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

C^=180°A^B^ 

C^=180°45°70°=65°

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: BCsinA=ACsinB=ABsinC

BCsin45°=ACsin70°=40sin65° 

AC=40.sin70°sin65°41,47m 

Vậy khoảng cách từ A trên bờ sông đến gốc cây C khoảng 41,47 m.

Bài 3. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm chiều cao của toà nhà.


Hướng dẫn giải


Từ hình vẽ ta có BAC^=45°40°=5° ABD^=180°BAD^+ADB^ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Do đó ABD^=45°.

Suy ra: ABC^=ABD^=45°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có: BCsinBAC^=ACsinABC^ 

Suy ra AC=BC.sinABC^sinBAC^=2.sin45°sin5°16,2m

Trong tam giác vuông ADC có CD=AC.sinCAD^16,2.sin40°10,4m.

Do đó CH = CD + DH ≈ 10,4 + 5 ≈ 15,4 (m).

Vậy chiều cao của toà nhà là khoảng 15,4 m.

Bài 4. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8, M là trung điểm của BC, cosAMB^=51326và AM > 3. Tính AM và giải tam giác ABC biết tam giác ABC là tam giác tù.

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC nên BM=MC=12BC=12.8=4.

Xét tam giác ABM, áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

cosAMB^=AM2+BM2AB22.AM.BM 

51326=AM2+42322.AM.4 

AM2+7=401326AM 

AM2201313AM+7=0 

AM=13>3tm:AM>3AM=71313<3ktm:AM>3 

Do đó AM=13.

AMB^ AMC^ là hai góc kề bù nên AMB^ + AMC^ = 180°.

Suy ra cosAMC^=cosAMB^=51326. 

Xét tam giác AMC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC2=AM2+CM22.AM.CM.cosAMC^ 

AC2=132+422.13.4.51326

Þ AC2 = 49

Þ AC = 7.

Xét tam giác ABM có AB = 3, BM = 4, AM=13 áp dụng định lí côsin ta có:

cosABM^=AB2+BM2AM22.AB.BM 

cosABM^=32+421322.3.4=12 ABM^=60°ABC^=60°.

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin ta có: BCsinBAC^=ACsinABC^ 

8sinBAC^=7sin60° 

sinBAC^=8.sin60°7=437

BAC^82° hoặc BAC^98°

Mà tam giác ABC là tam giác tù nên BAC^98°.

Xét tam giác ABC ta có:

BAC^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc trong tam giác)

ACB^=180°BAC^ABC^ 

ACB^180°98°60°=22°.

Vậy AM=13,AC=7,ABC^=60°,BAC^98° và ACB^22°.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài tập cuối chương 4

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm vectơ

Lý thuyết Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1 1,936 03/01/2023
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: