Đáp án: A

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A(gt) và AM là trung tuyến nên AM cũng là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $△\mathrm{ABD}$ và $△\mathrm{ACD}$ có:

$\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$ (cmt)

AB = AC (gt)

AD chung

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}=△\mathrm{ACD}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{DC}$ (2 cạnh tương ứng)

 $\Rightarrow △\mathrm{BDC}$ cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Đáp án: B

Giải thích:

Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC thì E cách đều hai cạnh AB, AC

Đáp án: A

Giải thích:

Điểm M cách đều hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì điểm M nằm trên tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$

Đáp án: D

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có các tia phân giác $\hat{\mathrm{B}}$ và $\hat{\mathrm{C}}$ cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong $△\mathrm{ABC}$, suy ra AI là đường phân giác của $\hat{\mathrm{A}}$ và I cách đều ba cạnh của $△\mathrm{ABC}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác). Vậy ta loại đáp án A, B, C

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác trong $△\mathrm{ABC}$ nên $\mathrm{DI}=\mathrm{IE}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác).

Đáp án: D

Giải thích:

Hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I mà ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm nên AI là phân giác của góc A.

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I nên II là điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°$

(định lí tổng ba góc trong tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\hat{\mathrm{A}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-80° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=100°\left(1\right) \end{gathered}$$

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ (gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{DCB}}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}$ (2) (tính chất tia phân giác)

Vì BE là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ (gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{CBE}}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}$ (3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1),(2),(3)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{DCB}}+\widehat{\mathrm{CBE}}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}+\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}=100°:2=50° \end{gathered}$$

Hay $\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}=50°\left(*\right)$

Xét $△\mathrm{BIC}$ có: $\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}+\widehat{\mathrm{BIC}}=180°\left(**\right)$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (*) và (**)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{BIC}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}\right) \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BIC}}=180°-50°=130° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác AHB vuông ta có $\widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{ABH}}=90°$ mà $\widehat{\mathrm{BAH}}=2\hat{\mathrm{C}}$ và $\widehat{\mathrm{ABH}}=2\widehat{\mathrm{IBH}}$

Suy ra

$$\begin{gathered} 2\hat{\mathrm{C}}+2\widehat{\mathrm{IBH}}=90° \\ \Rightarrow 2\left(\hat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{IBH}}\right)=90° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{IBH}}=45° \end{gathered}$$

Xét tam giác BEC có $\widehat{\mathrm{IEA}}$ là góc ngoài tại đỉnh E nên

$\widehat{\mathrm{AEI}}=\widehat{\mathrm{ECB}}+\widehat{\mathrm{EBC}}=45°$

Xét tam giác ABH có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{HBA}}=90° \\ \Rightarrow 2\widehat{\mathrm{IAB}}+2\widehat{\mathrm{IBA}}=90° \\ \Rightarrow 2\left(\widehat{\mathrm{IAB}}+\widehat{\mathrm{IBA}}\right)=90° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{IAB}}+\widehat{\mathrm{IBA}}=45° \end{gathered}$$

Xét tam giác AIB có $\widehat{\mathrm{AIE}}$ là góc ngoài tại đỉnh I nên

$\widehat{\mathrm{AIE}}=\widehat{\mathrm{IAB}}+\widehat{\mathrm{IBA}}=45°$

Xét tam giác IAE có $\widehat{\mathrm{AIE}}=45°=\widehat{\mathrm{IEA}}$ suy ra:

$\widehat{\mathrm{EAI}}=180°-\widehat{\mathrm{AIE}}-\widehat{\mathrm{IEA}}=90°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Nên tam giác IAE vuông cân tại A

Đáp án: B

Giải thích:

I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều ba cạnh của $△\mathrm{ABC}$. Loại đáp án A

Ta có: $△\mathrm{ABC}$ cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên AI vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$. Mà G là trọng tâm của $△\mathrm{ABC}$ nên A, G, I thẳng hàng. Chọn B

Đáp án: B

Giải thích:

+ Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến nên đáp án A sai.

Loại đáp án A.

+ Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác là đúng.

Chọn đáp án B.

+ Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy sai vì tính chất này không phải đúng với mọi tam giác.

Loại đáp án C.

+ Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó sai vì giao điểm của ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó.

Loại đáp án D.

Đáp án: A

Giải thích:

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$ và $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (gt)

Suy ra, CO là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ACO}}=\widehat{\mathrm{BCO}}$(1) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$(gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OBC}}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN//BC(gt) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{MOB}}=\widehat{\mathrm{OBC}} \left(3\right)\\ \widehat{\mathrm{NOC}}=\widehat{\mathrm{OCB}} \left(4\right)\end{array}\right.$ (so le trong)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{NOC}}=\widehat{\mathrm{NCO}}\Rightarrow △\mathrm{NOC}$ cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{NO}=\mathrm{NC}=3\mathrm{cm}$ (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{MOB}}=\widehat{\mathrm{MBO}}\Rightarrow △\mathrm{MOB}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{MB}=\mathrm{MO}=2\mathrm{cm}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{MN}=\mathrm{MO}+\mathrm{ON}=2+3=5\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có: $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-\hat{\mathrm{A}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-70° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=110° \left(1\right) \end{gathered}$$

Vì CD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ (gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{DCB}}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}$(2) (tính chất tia phân giác)

Vì BE là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ (gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{CBE}}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}$(3) (tính chất tia phân giác)

Từ (1), (2), (3)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{DCB}}+\widehat{\mathrm{CBE}}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}+\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2} \\ =\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}=110°:2=55° \end{gathered}$$

Hay $\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}=55°$(*)

Xét $△\mathrm{BIC}$ có: $\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}+\widehat{\mathrm{BIC}}=180°$(**) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Từ (*) và (**)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{BIC}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{ICB}}+\widehat{\mathrm{IBC}}\right) \\ =180°-55°=125° \end{gathered}$$

Đáp án: A

Giải thích:

Vì O là giao điểm của hai tia phân giác của các góc $\widehat{\mathrm{ABC}}$ và $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (gt)

Suy ra, CO là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ACO}}=\widehat{\mathrm{BCO}}$(1) (tính chất tia phân giác của một góc)

BO là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$(gt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OBC}}$ (2) (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì MN//BC(gt) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{MOB}}=\widehat{\mathrm{OBC}} \left(3\right)\\ \widehat{\mathrm{NOC}}=\widehat{\mathrm{OCB}} \left(4\right)\end{array}\right.$ (so le trong)

Từ (1) và (4) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{NOC}}=\widehat{\mathrm{NCO}}\Rightarrow △\mathrm{NOC}$ cân tại N (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{NO}=\mathrm{NC}=4\mathrm{cm}$ (tính chất tam giác cân)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{MOB}}=\widehat{\mathrm{MBO}}\Rightarrow △\mathrm{MOB}$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{MB}=\mathrm{MO}=3\mathrm{cm}$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow \mathrm{MN}=\mathrm{MO}+\mathrm{ON}=3+4=7\mathrm{cm}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: hai tia phân giác góc ngoài tại B và C của $△\mathrm{ABC}$ cắt nhau tại N nên AN là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (1)

$△\mathrm{ABC}$ có: I cách đều ba cạnh của tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của $△\mathrm{ABC}$

Khi đó AI là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra A, I, N thẳng hàng

Do đó A đúng, B, C, D sai

Đáp án: D

Giải thích:

Xét $△\mathrm{MNP}$ có các tia phân giác của $\widehat{\mathrm{MNP}}$ và $\widehat{\mathrm{MPN}}$ cắt nhau tại I nên I là giao điểm của ba đường phân giác trong $△\mathrm{MNP}$

Khi đó $\mathrm{ID}=\mathrm{IE}$ (Tính chất ba đường phân giác của tam giác) mà $\mathrm{ID}=4\mathrm{cm}$ suy ra $\mathrm{IE}=4\mathrm{cm}$