Lời giải

Xét hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2-2=0\\ x^2+y^2-2x=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y^2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=1\\ \left[\begin{array}{c}y=1\\ y=-1\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy có hai giao điểm là:$\left(1;-1\right)$ và$\left(1;1\right)$

Lời giải

Ta có: $x^2+y^2-4x-2y+1=0$

$\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$ có tâm $I\left(2;1\right)$, bán kính R=2.

Vì $d\left(I,Oy\right)=2,d\left(I,Ox\right)=1,$

$d\left(I,{\Delta }_1\right)=\frac{9}{2\sqrt{5}},d\left(I,{\Delta }_2\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}$ nên A đúng.

Lời giải

Đường tròn có tâm I (m;0) và bán kính R=3.

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} d\left(I;△\right)=R=3\iff \frac{\left|3m+3\right|}{5}=3 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=4\\ m=-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(4;-3), bán kính R=2

Tọa độ của I(4;-3) thỏa phương trình d: x + y -1 =0. Vậy $I\in d$.

Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R=2, x=2 và x=6 là 2 tiếp tuyến của (C)  nên

Hoặc là A là giao điểm các đường d và $x=2\Rightarrow A\left(2,-1\right)$

Hoặc là A là giao điểm các đường (d)  và $x=6\Rightarrow A\left(6,-5\right)$.

Lời giải.

Lời giải

$\Delta ABC$ cân tại A;tâm I của (C) thuộc Oy $\Rightarrow I\left(0;y_0\right)$

$\overrightarrow{IB}=\left(b;-y_0\right),\overrightarrow{AB}=\left(b;-a\right)$

Do $\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{AB}=0\Rightarrow b^2+a{y}_0=0$

$\Rightarrow y_0=-\frac{b^2}{a}$.

Mặc khác $R^2=I{B}^2=b^2+y_0^2$

$=b^2+\frac{b^4}{a^2}$

Vậy phương trình của (C) là

$x^2+{\left(y+\frac{b^2}{a}\right)}^2=b^2+\frac{b^4}{a^2}$

Lời giải.

Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=bt\end{array}\right.$

- Đường tròn :$\left(C_1\right):I_1\left(1;1\right),R_1=1$

$\left(C_2\right):I_2\left(-2;0\right),R_2=3$

suy ra :$\left(C_1\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1,$

$\left(C_2\right):{\left(x+2\right)}^2+y^2=9$

Nếu d cắt $\left(C_1\right)$ tại A:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)t^2-2bt=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}t=0\to M\\ t=\frac{2b}{a^2+b^2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow A\left(1+\frac{2ab}{a^2+b^2};\frac{2b^2}{a^2+b^2}\right) \end{gathered}$$

Nếu d cắt $\left(C_2\right)$ tại B:

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(a^2+b^2\right)t^2+6at=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}t=0\to M\\ t=-\frac{6a}{a^2+b^2}\end{array}\right. \\ \iff B\left(1-\frac{6a^2}{a^2+b^2};-\frac{6ab}{a^2+b^2}\right) \end{gathered}$$

- Theo giả thiết:$MA=2MB$

$\iff M{A}^2=4M{B}^2\left(*\right)$

- Ta có: ${\left(\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(\frac{2b^2}{a^2+b^2}\right)}^2$

$=4\left[{\left(\frac{6a^2}{a^2+b^2}\right)}^2+{\left(\frac{6ab}{a^2+b^2}\right)}^2\right]$

$$\begin{gathered} \iff \frac{4b^2}{a^2+b^2}=4.\frac{36a^2}{a^2+b^2} \\ \iff b^2=36a^2 \\ \iff \left[\begin{array}{l}b=-6a\to d:6x+y-6=0\\ b=6a\to d:6x-y-6=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi I(a,b) để I là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A\left(0;4\right), B\left(3;4\right), C\left(3;0\right)$ thì

$$\begin{gathered} IA=IB=IC=R\iff \left\{\begin{array}{l}IA=IB\\ IA=IC\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+{\left(4-b\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2\\ a^2+{\left(4-b\right)}^2={\left(3-a\right)}^2+b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2}\\ b=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tâm I(1;1) , bán kính

$$\begin{gathered} R=IA=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2} \\ =\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có $x^2+y^2-x+y+4=0$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2 \\ =-\frac{7}{2}<0. \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi I(a,b)

Do I là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A\left(0;5\right),B\left(3;4\right),C(-4;3)$ nên

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}IA=IB\\ IA=IC\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+{\left(5-b\right)}^2\\ ={\left(3-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2\\ a^2+{\left(5-b\right)}^2\\ ={\left(-4-a\right)}^2+{\left(3-b\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3a+b=0\\ -2a+b=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tâm I(0;0).

Lời giải

Ta có đường tròn tâm I(0;-2) bán kính R=2

Dễ thấy đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng $x=2;x=-2;Ox$

Lời giải

Đường tròn tâm I(0;0), bán kính R=1

Khoảng cách từ tâm đến các đường thẳng ở các đáp án là

$$\begin{gathered} d_A=0; \\ {d}_B=\frac{1}{3}<R; \\ {d}_C=\frac{5}{3}>R; \\ {d}_D=1=R \end{gathered}$$

Vậy đáp án D là đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu trên.

Lời giải

Gọi I(a;b) để I là tâm đường tròn đi qua ba điểm $A\left(0;0\right),B\left(0;6\right),C\left(8;0\right)$ thì

$$\begin{gathered} IA=IB=IC=R \\ \iff \left\{\begin{array}{l}IA=IB\\ IA=IC\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=a^2+{\left(6-b\right)}^2\\ a^2+b^2={\left(8-a\right)}^2+b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tâm I(1;1),

bán kính $R=IA=\sqrt{4^2+3^2}=5$

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm hệ phương trình 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4=x^2+y^2-4x-4y+4\\ x^2+y^2-4=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2-y\\ {\left(2-y\right)}^2+y^2-4=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Thay lần lượt vào phương trình ta thấy tọa độ điểm ở đáp án D thỏa mãn.

Lời giải

$R=d\left(I,\Delta \right)=\frac{15}{5}=3$

Lời giải

Tâm và bán kính đường tròn là $I\left(2;1\right); R=5$

Ta có đường thẳng đi qua hai điểm (2;6) và (45;50) là:

$$\begin{gathered} \frac{x-2}{43}=\frac{y-6}{44} \\ \iff 44x-43y+170=0 \end{gathered}$$

Đường thẳng đi qua hai điểm (3;-2) và (19;33) là:

$$\begin{gathered} \frac{x-3}{16}=\frac{y+2}{35} \\ \iff 35x-16y-73=0 \end{gathered}$$

Khoảng cách từ tâm đến các đường thẳng là

$$\begin{gathered} d_A=\frac{215}{\sqrt{3785}}<R; \\ {d}_B=3<R; \\ {d}_C=\frac{19}{\sqrt{1481}}<R; \\ {d}_D=6>R \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi phương trình cần tìm có dạng

$\left(C\right):x^2+y^2+ax+by+c=0$.

Do $A,B,O\in \left(C\right)$ nên ta có hệ

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a+c=-4\\ 6b+c=-36\\ c=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-6\\ c=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình đường tròn là

$x^2+y^2-2x-6y=0$.

Lời giải

Thay tọa độ điểm $A(4;-2)$ vào các đáp án ta được đáp án A thỏa mãn:

$4^2+{\left(-2\right)}^2-2.4+6.\left(-2\right)=0$

Lời giải

Đường tròn $\left(C_1\right)$ có tâm $I_1\left(0;0\right)$ và bán kính $R_1=2$.

Đường tròn có tâm $I_2\left(-10;16\right)$ và bán kính $R_2=1$.

Lời giải

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $∆$ nên

$$\begin{gathered} R=d\left(I,\Delta \right)=\frac{\left|4.0+3.0+m\right|}{\sqrt{4^2+3^2}} \\ =3\iff m=\pm 15 \end{gathered}$$

Lời giải

$$\begin{gathered} x+y-a-b=0 \\ \iff y=a+b-x \end{gathered}$$

thay vào ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$

ta có:

$$\begin{gathered} {\left(x-a\right)}^2+{\left(x-a\right)}^2=R^2 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=a+\frac{R}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow y=b-\frac{R}{\sqrt{2}}\\ x=a-\frac{R}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow y=b+\frac{R}{\sqrt{2}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tọa độ giao điểm là:

$$\begin{gathered} A\left(a+\frac{R}{\sqrt{2}}; b-\frac{R}{\sqrt{2}}\right); \\ B\left(a-\frac{R}{\sqrt{2}}; b+\frac{R}{\sqrt{2}}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-\frac{2R}{\sqrt{2}};\frac{2R}{\sqrt{2}}\right) \\ \Rightarrow AB=2R \end{gathered}$$

Lời giải

$x-2y+3=0\iff x=2y-3$

thay vào : $x^2+y^2-2x-4y=0$

ta được:

$$\begin{gathered} {\left(2y-3\right)}^2+y^2-2\left(2y-3\right)-4y=0 \\ \iff 5y^2-16y+15=0\left(VN\right) \end{gathered}$$

Lời giải

$\left(C_1\right)$ có bán kính $R_1=2$ ;$\left(C_2\right)$ có bán kính $R_2=4$

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x=0\\ x^2+y^2+8y=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4x=0\\ x=-2y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5y^2+8y=0\\ x=-2y\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

$\Delta :x+y-7=0\iff y=7-x$

thay vào phương trình (C) ta được:

$$\begin{gathered} x^2+{\left(7-x\right)}^2-25=0 \\ \iff x^2-7x+12=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=3\Rightarrow y=4\\ x=4\Rightarrow y=3\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Vậy tọa độ giao điểm là (3;4) và (4;3).

Lời giải

$$\begin{gathered} x^2+y^2-2x-2y-23=0 \\ \iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=25 \end{gathered}$$

có tâm I(1;1) và bán kính R=5

Gọi $d\left(I,\Delta \right)=\frac{\left|1-1+2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<R$

suy ra đường thẳng $∆$ cắt đường tròn theo dây cung AB và $AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{23}.$

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} x^2+y^2-10x+2y+1=0 \\ \iff {\left(x-5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=25 \end{gathered}$$

có tâm $I_1\left(5;-1\right)$ và bán kính R=5.

Vì $d\left(I_1;Oy\right)=5=R$ nên A đúng.

Lời giải

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-5\\ =x^2+y^2-4x-8y+15\\ x^2+y^2-5=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=5-2y\\ {\left(5-2y\right)}^2+y^2-5=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Do đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên

$R=d\left(I,Ox\right)=\left|y_I\right|$.

Phương trình trục Ox là y=0.

Đáp án A sai vì: Tâm $I\left(1;5\right)$ và bán kính $R=\sqrt{26}$. Ta có

$d\left(I,Ox\right)=\left|y_I\right|\ne R$.

Đáp án B đúng vì: Tâm $I\left(-3;-\frac{5}{2}\right)$ và bán kính $R=\frac{5}{2}$. Ta có

$d\left(I,Ox\right)=\left|y_I\right|=R$.

Đáp án C sai vì: Tâm $I\left(0;5\right)$ và bán kính $R=\sqrt{24}$. Ta có

$d\left(I,Ox\right)=\left|y_I\right|\ne R$.

Đáp án D sai vì: Tâm $I\left(0;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$. Ta có

$d\left(I,Ox\right)=\left|y_I\right|\ne R$.

Lời giải

Do đường tròn tiếp xúc với trục Oy nên $R=d\left(I,Oy\right)=\left|x_I\right|$.

Phương trình trục Oy là x=0.

Đáp án A sai vì: Tâm I(0;5) và bán kính $R=\sqrt{24}$. Ta có

$d\left(I,Oy\right)=\left|x_I\right|\ne R$.

Đáp án B sai vì: Tâm $I\left(-3;-\frac{5}{2}\right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{65}}{2}$. Ta có

$d\left(I,Oy\right)=\left|x_I\right|\ne R$.

Đáp án C đúng vì: Tâm $I\left(1;0\right)$ và bán kính $R=1$. Ta có

$d\left(I,Oy\right)=\left|x_I\right|=R$.

Đáp án D sai vì: Tâm $I\left(0;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$. Ta có

$d\left(I,Oy\right)=\left|x_I\right|\ne R$.