Lời giải

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}x=5\cos t\\ y=4\mathrm{sint}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{5}=\cos t\\ \frac{y}{4}=\sin t\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}={\cos }^{2}t\\ \frac{y^2}{16}={\sin }^{2}t\end{array}\right. \\ \Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1. \end{gathered}$$

Lời giải

Với $c^2=a^2-b^2\left(c>0\right)$, tâm sai của elip là $e=\frac{a}{c}$.

Lời giải

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x=7\cos t\\ y=5\mathrm{sint}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{7}=\cos t\\ \frac{y}{5}=\sin t\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{49}={\cos }^{2}t\\ \frac{y^2}{25}={\sin }^{2}t\end{array}\right. \\ \Rightarrow \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1. \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:$d:3x+4y-12=0$

$\iff y=3-\frac{3x}{4}$ thay vào phương trình:

$\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{16}+\frac{{\left(3-\frac{3x}{4}\right)}^2}{9}=1 \\ \iff \frac{x^2}{16}+\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}=1 \\ \iff 2x^2-8x=0 \\ \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=3\\ x=4\Rightarrow y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\\ c^2=a^2-b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=3\\ c=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tâm sai của Elip $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=7\\ c^2=a^2-b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=\sqrt{7}\\ c=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy: Tiêu cự của Elip

$F_1{F}_2=2c=2.3=6$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Ta có a=6,b=3 , vậy phương trình của Elip là:$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$.

Theo giả thiết:

$e=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{1}{3}$$\Rightarrow a=3c$

và $2a=6\iff a=3$

$\Rightarrow c=1$

Khi đó: $a^2=b^2+c^2$

$\iff 3^2=b^2+1\iff b^2=8$

$\iff b=2\sqrt{2}$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$.

Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là $x+4=0$ nên $a=4$ và một tiêu điểm là điểm $\left(-1;0\right)$ nên $c=1$. Do đó: $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{15}$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Theo giả thiết: $2c=6\iff c=3$.

Vì $A\left(0;5\right)\in \left(E\right)$ nên ta có phương trình:

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{5^2}{b^2}=1\iff b=5$

Khi đó: $a^2=b^2+c^2$

$$\begin{gathered} \iff a^2=5^2+3^2 \\ \iff a^2=34\iff a=\sqrt{34} \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1$

Lời giải

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\\ x-\sqrt{2}y+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2=8\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2-\sqrt{2}y-1=0\\ x=\sqrt{2}y-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm $x\Rightarrow$ có 2 giao điểm.

Từ $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$,

suy ra $a=4,b=3$.

Với một điểm bất kì trên (E), ta luôn có:

$b\le OM\le a\Rightarrow 3\le OM\le 4.$

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$

Theo giả thiết:$2a=2.2b\iff a=2b$

và $2c=4\sqrt{3}\iff c=2\sqrt{3}$

Khi đó:$a^2=b^2+c^2$

$$\begin{gathered} \iff {\left(2b\right)}^2=b^2+12 \\ \iff 3b^2-12=0 \\ \iff b=2\Rightarrow a=4 \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

Lời giải

$$\begin{gathered} \left(E\right):x^2+4y^2=1 \\ \iff \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=1\\ b^2=\frac{1}{4}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Vậy, (E) có trục lớn bằng 2a=2, có trục nhỏ bằng 2b=1, có tiêu điểm $F_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, có tiêu cự bằng $2c=\sqrt{3}$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Theo đề bài, ta được hệ

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=2b\\ \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=4b^2\\ \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=4b^2\\ \frac{5}{b^2}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2=20\\ b^2=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra: $\left(E\right):\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1.$

Lời giải

Ta có:$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=20\\ b^2=15\\ c^2=a^2-b^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{5}\\ b=\sqrt{15}\\ c=\sqrt{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy đường chuẩn của Elip $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{15}=1$ là

$$\begin{gathered} x=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{a}{\frac{c}{a}} \\ =\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{20}{\sqrt{5}} \\ =\pm 4\sqrt{5} \\ \Rightarrow x\pm 4\sqrt{5}=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:

$a=4;b=\sqrt{12}\Rightarrow c=2$

Sử dụng công thức bán kính qua tiêu

$M{F}_1=4-\frac{1.2}{4}=3.5$,

$M{F}_2=4+\frac{1.2}{4}=4,5.$

Lời giải

Từ phương trình của elip, ta có a=5, b=3, c=4 suy ra các mệnh đề sai là (I) và (IV).

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Do Elip đi qua M nên $\frac{9}{5a^2}+\frac{16}{5b^2}=1$. Lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{F_{1}M{F}_2}={90}^{\text{o}} \\ \iff OM=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2=c \end{gathered}$$

$\iff c=\sqrt{5}$

Như vậy ta có  hệ điều kiện $\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{5a^2}+\frac{16}{5b^2}=1\\ a^2-b^2=5\end{array}\right.$

Giải hệ ta được $a^2=9;b^2=4$

$\Rightarrow \left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng $x-2=0$ nên có $a=2$. Mặt khác:

$$\begin{gathered} a^2+b^2=6^2 \\ \iff b^2=36-4=32 \\ \iff b=4\sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy phương trình Elip là $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{32}=1$.

Lời giải

Giả sử $A\left(x_0;y_0\right)$, Do A,B đối xứng nhau qua Ox nên $B\left(x_0;-y_0\right)$.

Ta có:  $A{B}^2=4y_0^2$

và $A{C}^2={\left(x_0-2\right)}^2+y_0^2.$

Vì $A\in \left(E\right)$ nên $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$

$\Rightarrow y_0^2=1-\frac{x_0^2}{4}\left(1\right)$

Vì $AB=AC$ nên ${\left(x_0-2\right)}^2+y_0^2=4y_0^2\left(2\right).$

Thay (1) vào (2) ta được

$$\begin{gathered} 7x_0^2-16x_0+4=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}_0=2\Rightarrow y_0=0\\ x_0=\frac{2}{7}\Rightarrow y_0=\pm \frac{4\sqrt{3}}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vì điểm A khác C và A có tung độ dương nên $A\left(\frac{2}{7};\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)$ và $B\left(\frac{2}{7};-\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)$

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} d:3x+4y-12=0 \\ \iff y=3-\frac{3x}{4} \end{gathered}$$

thay vào phương trình:

$\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ ta được

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{16}+\frac{{\left(3-\frac{3x}{4}\right)}^2}{9}=1 \\ \iff \frac{x^2}{16}+\frac{{\left(x-4\right)}^2}{16}=1 \\ \iff 2x^2-8x=0 \\ \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=3\\ x=4\Rightarrow y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy d luôn cắt (E)  tại hai điểm phân biệt $A\left(0;3\right)$,$B\left(4;0\right)$ và độ dài AB=5.

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$

Độ dài trục lớn $2a=26\Rightarrow a=13$,

tâm sai $e=\frac{12}{13}\Rightarrow c=12$.

Trục nhỏ $2b=2\sqrt{a^2-c^2}=10$