22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Phương trình đường elip

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn:

$\{\begin{cases} x = 5 \cos t \\ y = 4 sint \end{cases},$ với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{81} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\{\begin{cases} x = 5 \cos t \\ y = 4 sint \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{5} = \cos t \\ \frac{y}{4} = \sin t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{2}}{25} = \cos^{2} t \\ \frac{y^{2}}{16} = \sin^{2} t \end{cases} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Câu 2:

Cho Elip (E) có phương trình chính tắc là

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với

$a > b > 0$ . Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là $A_{1} (a; 0)$ , $A_{1} (- a; 0)$ .

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là

$B_{1} (0; b)$ ,

$A_{1} (0; - b)$ .

C. Với $c^{2} = a^{2} - b^{2} (c > 0)$ , độ dài tiêu cự là 2c.

D. Với

$c^{2} = a^{2} - b^{2} (c > 0)$ , tâm sai của elip là

$e = \frac{a}{c}$ .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Với $c^{2} = a^{2} - b^{2} (c > 0)$ , tâm sai của elip là $e = \frac{a}{c}$ .

Câu 3:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x,y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn:

$\{\begin{cases} x = 7 \cos t \\ y = 5 sint \end{cases},$ với t là tham số thay đổi. Khi đó điểm M di động trên elip có phương trình:

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{81} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\{\begin{cases} x = 7 \cos t \\ y = 5 sint \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{7} = \cos t \\ \frac{y}{5} = \sin t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{2}}{49} = \cos^{2} t \\ \frac{y^{2}}{25} = \sin^{2} t \end{cases} \Rightarrow \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

Câu 4:

Cho elíp

$(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường thẳng

$d : 3 x + 4 y - 12 = 0$ . Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $d : 3 x + 4 y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow y = 3 - \frac{3 x}{4}$ thay vào phương trình:

$(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ta được:

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(3 - \frac{3 x}{4})}^{2}}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{16} + \frac{{(x - 4)}^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 8 x = 0 [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 3 \\ x = 4 \Rightarrow y = 0 \end{matrix}$

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt

$A (0; 3)$ ,

$B (4; 0)$ .

Câu 5:

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip - Toán lớp 10

Elip (E):

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ có tâm sai bằng bao nhiêu?

A. $\frac{4}{5}$ .

B. $\frac{5}{4}$ .

C. $\frac{5}{3}$ .

D. $\frac{3}{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

$(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 25 \\ b^{2} = 9 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 \\ b = 3 \\ c = 4 \end{cases}$

Vậy tâm sai của Elip $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$

Câu 6:

16/11/2024

Đường Elip

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ có tiêu cự bằng :

A. 3.

B. 6.

C. $\frac{9}{16}$ .

D. $\frac{6}{7}$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 16 \\ b^{2} = 7 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = \sqrt{7} \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy: Tiêu cự của Elip

$F_{1} F_{2} = 2 c = 2.3 = 6$ .

*Phương pháp giải:

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

*Lý thuyết:

- Cho hai điểm cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_{1} F_{2}$ . Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1} M + F_{2} M = 2 a$ .

- Các thành phần của Elip: Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Hai tiêu điểm: $F_{1}$ (-c; 0) và $F_{2}$ (c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_{1}$ (-a; 0), $A_{2}$ (a; 0), $B_{1}$ (0; -b) và $B_{2}$ (0; b)

+ Độ dài trục lớn: $A_{1} A_{2} = 2 a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_{1} B_{2} = 2 b$

+ Tiêu cự: $F_{1} F_{2} = 2 c$

+ Tâm sai: $e = \frac{c}{a} < 1$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Xem thêm

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án – Toán lớp 10

Câu 7:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)

A. $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{36} = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$

Ta có a=6,b=3 , vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Câu 8:

21/07/2024

Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng

$\frac{1}{3}$ và trục lớn bằng 6.

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

Theo giả thiết:

$e = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow a = 3 c$

và $2 a = 6 \Leftrightarrow a = 3$

$\Rightarrow c = 1$

Khi đó: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$\Leftrightarrow 3^{2} = b^{2} + 1 \Leftrightarrow b^{2} = 8$

$\Leftrightarrow b = 2 \sqrt{2}$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ .

Câu 9:

19/07/2024

Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là

$x + 4 = 0$ và một tiêu điểm là

$(- 1; 0)$ .

A. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 0$ .

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ .

Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là $x + 4 = 0$ nên $a = 4$ và một tiêu điểm là điểm $(- 1; 0)$ nên $c = 1$ . Do đó: $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{15}$ .

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

Câu 10:

Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm

$A (0; 5)$ .

A. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{34} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$

Theo giả thiết: $2 c = 6 \Leftrightarrow c = 3$ .

Vì $A (0; 5) \in (E)$ nên ta có phương trình:

$\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{5^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b = 5$

Khi đó: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} = 5^{2} + 3^{2} \Leftrightarrow a^{2} = 34 \Leftrightarrow a = \sqrt{34}$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{x^{2}}{34} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Câu 11:

Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ và đường thẳng $d : x - \sqrt{2} y + 2 = 0$ . Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \\ x - \sqrt{2} y + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 2 y^{2} = 8 \\ x = \sqrt{2} y - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y^{2} - \sqrt{2} y - 1 = 0 \\ x = \sqrt{2} y - 2 \end{cases}$

Có 2 nghiệm y nên có 2 nghiệm $x \Rightarrow$ có 2 giao điểm.

Từ $(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ,

suy ra $a = 4, b = 3$ .

Với một điểm bất kì trên (E), ta luôn có:

$b \leq O M \leq a \Rightarrow 3 \leq O M \leq 4.$

Câu 12:

16/07/2024

$4 \sqrt{3}$

A. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của Elip có dạng

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$

Theo giả thiết: $2 a = 2.2 b \Leftrightarrow a = 2 b$

và $2 c = 4 \sqrt{3} \Leftrightarrow c = 2 \sqrt{3}$

Khi đó: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$\Leftrightarrow {(2 b)}^{2} = b^{2} + 12 \Leftrightarrow 3 b^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow a = 4$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Câu 13:

Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm

Cho elip $(E) : x^{2} + 4 y^{2} = 1$ và cho các mệnh đề:

(I) (E)có trục lớn bằng 4

(II) (E) có trục nhỏ bằng 1

((III) (E) có tiêu điểm $F_{1} (0; \frac{\sqrt{3}}{2})$

( IV) (E) có tiêu cự bằng $\sqrt{3}$

Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng?

A. (I)

B. (II) và (IV).

C. (I) và (III).

D. (IV).

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

$(E) : x^{2} + 4 y^{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 1 \\ b^{2} = \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy, (E) có trục lớn bằng 2a=2, có trục nhỏ bằng 2b=1, có tiêu điểm $F_{1} (- \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ , có tiêu cự bằng $2 c = \sqrt{3}$ .

Câu 14:

18/07/2024

$A (2; - 2)$ là

A. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{6} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$

Theo đề bài, ta được hệ

$\{\begin{cases} a = 2 b \\ \frac{4}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 4 b^{2} \\ \frac{4}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 4 b^{2} \\ \frac{5}{b^{2}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 20 \\ b^{2} = 5 \end{cases}$

Suy ra: $(E) : \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$

Câu 15:

Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip

$\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

A. $x + 4 \sqrt{5} = 0$ .

B. $x - 4 = 0$ .

C. $x + 2 = 0$ .

D. $x + 4 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 20 \\ b^{2} = 15 \\ c^{2} = a^{2} - b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \sqrt{5} \\ b = \sqrt{15} \\ c = \sqrt{5} \end{cases}$

Vậy đường chuẩn của Elip $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ là

$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a}{\frac{c}{a}} = \pm \frac{a^{2}}{c} = \pm \frac{20}{\sqrt{5}} = \pm 4 \sqrt{5} \Rightarrow x \pm 4 \sqrt{5} = 0$

Câu 16:

Cho Elip

$(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng

A. $4 \pm \sqrt{2}$ .

B. 3 và 5.

C. 3,5 và 4,5.

D. $4 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$a = 4; b = \sqrt{12} \Rightarrow c = 2$

Sử dụng công thức bán kính qua tiêu

$M F_{1} = 4 - \frac{1.2}{4} = 3.5$ ,

$M F_{2} = 4 + \frac{1.2}{4} = 4, 5.$

Câu 17:

19/07/2024

Cho elip (E) : $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và cho các mệnh đề :

(I) (E) có tiêu điểm $F_{1} (- 3; 0)$ và $F_{2} (3; 0)$ .

(II) (E) có tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{4}{5}$ .

(III) (E) có đỉnh $A_{1} (- 5; 0)$ .

(IV) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ?

A. I và II .

B. II và III .

C. I và III.

D. IV và I.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Từ phương trình của elip, ta có a=5, b=3, c=4 suy ra các mệnh đề sai là (I) và (IV).

Câu 18:

Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết đi qua điểm

$M (\frac{3}{\sqrt{5}}; \frac{4}{\sqrt{5}})$ và

$Δ M F_{1} F_{2}$ vuông tại M.

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$

Do Elip đi qua M nên $\frac{9}{5 a^{2}} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1$ . Lại có:

$\hat{F_{1} M F_{2}} = 90^{o} \Leftrightarrow O M = \frac{1}{2} F_{1} F_{2} = c$

$\Leftrightarrow c = \sqrt{5}$

Như vậy ta có hệ điều kiện $\{\begin{cases} \frac{9}{5 a^{2}} + \frac{16}{5 b^{2}} = 1 \\ a^{2} - b^{2} = 5 \end{cases}$

Giải hệ ta được $a^{2} = 9; b^{2} = 4$

$\Rightarrow (E) : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Câu 19:

Lập phương trình chính tắc của elip (E), hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng x - 2 =0 và có độ dài đường chéo bằng 6.

A. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ .

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ .

C. $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng

$(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng $x - 2 = 0$ nên có $a = 2$ . Mặt khác:

$a^{2} + b^{2} = 6^{2} \Leftrightarrow b^{2} = 36 - 4 = 32 \Leftrightarrow b = 4 \sqrt{2}$

Vậy phương trình Elip là $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ .

Câu 20:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp $(E) : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ và điểm $C (2; 0) .$ Tìm tọa độ các điểm trên A, B biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và $Δ A B C$ là tam giác đều và điểm A có tung độ dương .

A. $A (\frac{2}{7}; \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ và $B (\frac{2}{7}; - \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ .

B.

$A (\frac{2}{7}; - \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ và

$B (\frac{2}{7}; \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ .

C. $A (2; 4 \sqrt{3})$ và $A (2; - 4 \sqrt{3})$ .

D. $A (- \frac{2}{7}; \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ và

$A (- \frac{2}{7}; - \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Giả sử $A (x_{0}; y_{0})$ , Do A,B đối xứng nhau qua Ox nên $B (x_{0}; - y_{0})$ .

Ta có: $A B^{2} = 4 y_{0}^{2}$

và $A C^{2} = {(x_{0} - 2)}^{2} + y_{0}^{2} .$

Vì $A \in (E)$ nên $\frac{x_{0}^{2}}{4} + y_{0}^{2} = 1$

$\Rightarrow y_{0}^{2} = 1 - \frac{x_{0}^{2}}{4} (1)$

Vì $A B = A C$ nên ${(x_{0} - 2)}^{2} + y_{0}^{2} = 4 y_{0}^{2} (2) .$

Thay (1) vào (2) ta được

$7 x_{0}^{2} - 16 x_{0} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 2 \Rightarrow y_{0} = 0 \\ x_{0} = \frac{2}{7} \Rightarrow y_{0} = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{7} \end{matrix}$

Vì điểm A khác C và A có tung độ dương nên $A (\frac{2}{7}; \frac{4 \sqrt{3}}{7})$ và $B (\frac{2}{7}; - \frac{4 \sqrt{3}}{7})$

Câu 21:

21/07/2024

Cho elíp $(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường thẳng $d : 3 x + 4 y - 12 = 0$ . Biết rằng d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B.Tính độ dài đoạn AB.

A. AB=5.

B. AB=3.

C. AB=4.

D. AB=10.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$d : 3 x + 4 y - 12 = 0 \Leftrightarrow y = 3 - \frac{3 x}{4}$

thay vào phương trình:

$(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ta được

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(3 - \frac{3 x}{4})}^{2}}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{16} + \frac{{(x - 4)}^{2}}{16} = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 8 x = 0 [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 3 \\ x = 4 \Rightarrow y = 0 \end{matrix}$

Vậy d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt $A (0; 3)$ , $B (4; 0)$ và độ dài AB=5.

Câu 22: