27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình đường elip có đáp án

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

A. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Xem đáp án

Câu 2:

Phương trình của elip có 1 tiêu điểm $F_{2} (1; 0)$ và đi qua điểm $M (2; \frac{- 2}{\sqrt{5}})$ là:

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

B. $4 x^{2} + 5 y^{2} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $5 x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Xem đáp án

Câu 3:

17/07/2024

Cho elip có phương trình $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ . Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6

B. 12

C. 24

D. 36

Xem đáp án

Hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 6 và chiều rộng là 4 nên diện tích là 24.

Đáp án là C.

Câu 4:

14/07/2024

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

A. y = 2x

B. y = 3

C. x = 3

D. y = 10

Xem đáp án

Để đường thẳng cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy thì đường thẳng đó cần song song với trục Ox. Phương án D không thỏa mãn vì không cắt (E).

Đáp án là B.

Câu 5:

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ với hai tiêu điểm là $F_{1}, F_{2}$ . Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác $M F_{1} F_{2}$ là:

A. 50

B. 36

C. 34

D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

Xem đáp án

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có các thông tin về các bán trục và bán tiêu cự a = 13, b = 5, c = 12.

Câu 6:

Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm $A (2; \sqrt{3})$ và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng $\frac{2}{\sqrt{3}}$

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Xem đáp án

Gọi phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì elip đi qua điểm $A (2; \sqrt{3})$ do đó thay tọa độ điểm A vào ta được

$\frac{4}{a^{2}} + \frac{3}{b^{2}} = 1$ (1)

Theo đề bài tỉ số của độ dài trục lớn và tiêu cực là

$\frac{2 a}{2 c} = \frac{a}{c} = \frac{2}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow a = \frac{2 c}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 3 a^{2} = 4 c^{2}$

Mà $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ta có $3 a^{2} = 4 (a^{2} - b^{2}) \Leftrightarrow a^{2} - 4 b^{2} = 0$ (2)

Câu 7:

18/07/2024

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài tiêu cự bằng 6 là:

A. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{28} = 1$

B. $16 x^{2} + 7 y^{2} = 112$

C. $7 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$

Xem đáp án

Ta có độ dài trục lớn bằng 8 nên 2a = 8 => a = 4

Độ dài tiêu cự bằng 6 nên 2c = 6 ⇒ c = 3

Đáp án D

Câu 8:

12/07/2024

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 8, hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 40 là:

A. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

B. $36 x^{2} + 16 y^{2} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

D. $36 x^{2} + 16 y^{2} = 576$

Xem đáp án

Ta có độ dài trục nhỏ bằng 8 nên 2b = 8 b = 4

Hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 40 nên 4a + 4b = 40

Mà b = 4 nên a= 6

Phương trình chính tắc của (E): $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Đáp án A

Câu 9:

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 6 là:

A. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

D. $9 x^{2} + 12 y^{2} = 108$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 10:

17/07/2024

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

D. $12 x^{2} + 3 y^{2} = 1$

Xem đáp án

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Trong đó, a > b > 0 do đó $a^{2} > b^{2}$ .

Chỉ có phương án C thỏa mãn phương trình chính tắc của 1 elip.

Đáp án C

Câu 11:

13/07/2024

Cho elip có phương trình $4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$ . Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6

B. 1/6

C. 24

D. 2/3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 12:

Cho elip có phương trình: $16 x^{2} + 25 y^{2} = 400$ . Khi đó chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

A. 9

B. 18

C. 36

D. 48

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 13:

23/07/2024

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox?

A. y = 5

B. y = 3

C. x = 3

D. x = 8

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 14:

Đường thẳng y = kx cắt elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ tại hai điểm phân biệt:

A. Đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

B. Đối xứng nhau qua trục Oy

C. Đối xứng nhau qua trục Ox

D. Nằm về một phía của Ox

Xem đáp án

Giao điểm của đường thẳng y = kx và elip là nghiệm hệ: $\{\begin{matrix} y = k x (1) \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (2) \end{matrix}$

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{k^{2} . x^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow b^{2} x^{2} + a^{2} k^{2} x^{2} = a^{2} b^{2} \Leftrightarrow (b^{2} + a^{2} k^{2}) x^{2} = a^{2} b^{2}$ (*)

Ta thấy nếu $x = x_{0}$ là nghiệm phương trình (*) thì ( $- x_{0}$ ) cũng là nghiệm của (*)

Vây phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là 2 số đối nhau.

Mà y = kx nên tung độ của 2 giao điểm cũng là 2 số đối nhau.

Suy ra, đường thẳng cắt elip tại 2 điểm đối xứng với nhau qua tâm O.

Đáp án A

Câu 15:

23/07/2024

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ và M là điểm nằm trên (E). Khẳng định nào sau đây là luôn đúng?

A. $O M \leq 4$

B. $4 \leq O M \leq 5$

C. $5 \leq O M \leq \sqrt{41}$

D. $O M \geq \sqrt{41}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 16:

19/07/2024

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường thẳng d: x = - 4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:

A. $M N = \frac{18}{5}$

B. $M N = \frac{18}{25}$

C. $M N = \frac{9}{25}$

D. $M N = \frac{9}{5}$

Xem đáp án

Câu 17:

13/07/2024

Cho elip (E) có một đỉnh là A( 5; 0) và có 1 tiêu điểm F1(- 4; 0). Phương trình chính tắc của elip là:

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

D. $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1.$

Xem đáp án

Câu 18:

12/07/2024

Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0)$ và một điểm M nằm trên (E) sao cho chu vi của tam giác $M F_{1} F_{2}$ bằng 30. Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

A. $\frac{x^{2}}{75} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

B. $100 x^{2} + 75 y^{2} = 1$

C. $75 x^{2} + 100 y^{2} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{75} = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 19:

19/07/2024

Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4 \sqrt{3}$

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{24} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

Xem đáp án

Câu 20:

Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ lớn hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

A. $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{60} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1.$

Xem đáp án

Elip (E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên 2a – 2b = 4 hay a – b = 2

Elip (E) có độ dài trục nhỏ lớn hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên 2b – 2c = 4 hay b – c = 2

Từ đó, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a - b = 2 \\ b - c = 2 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a - b = 2 \\ c = b - 2 \\ a^{2} = b^{2} + {(b - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b + 2 \\ c = b - 2 \\ {(b + 2)}^{2} = 2 b^{2} - 4 b + 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b + 2 \\ c = b - 2 \\ b^{2} - 8 b = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 10 \\ b = 8 \\ c = 6 \end{cases} \end{array}$

Phương trình chính tắc của Elip là $(E) : \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Đáp án C

Câu 21:

Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.

A. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Xem đáp án

Elip (E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2} \Rightarrow \frac{2 b}{2 c} = \sqrt{2} \Rightarrow c = \frac{b \sqrt{2}}{2}$ .

Mặt khác, ${(2 a)}^{2} + {(2 c)}^{2} = 64 \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} = 16$ .

Ta có

$\{\begin{matrix} c = \frac{b \sqrt{2}}{2} \\ \begin{array}{l} a^{2} + c^{2} = 16 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{array} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} + \frac{1}{2} b^{2} = 16 \\ a^{2} - \frac{3}{2} b^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 12 \\ b^{2} = 8 \end{cases}$

Phương trình chính tắc của Elip là $(E) : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ .

Chọn A.

Câu 22:

12/07/2024

Giao điểm của đường thẳng y = 2x và elip $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ là

A. $M_{1} (\frac{12}{\sqrt{53}}; \frac{24}{\sqrt{53}}), M_{2} (- \frac{12}{\sqrt{53}}; - \frac{24}{\sqrt{53}})$

B. $M_{1} (\frac{12}{\sqrt{65}}; \frac{24}{\sqrt{65}}), M_{2} (- \frac{12}{\sqrt{65}}; - \frac{24}{\sqrt{65}})$

C. $M_{1} (\frac{12}{\sqrt{73}}; \frac{24}{\sqrt{73}}), M_{2} (- \frac{12}{\sqrt{73}}; - \frac{24}{\sqrt{73}})$

D. $M_{1} (\frac{4}{\sqrt{73}}; \frac{8}{\sqrt{73}}), M_{2} (- \frac{4}{\sqrt{73}}; - \frac{8}{\sqrt{73}})$

Xem đáp án

Giao điểm của đường thẳng và elip thỏa mãn

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{12}{\sqrt{73}} \Rightarrow y = \frac{24}{\sqrt{73}} \\ x = \frac{- 12}{\sqrt{73}} \Rightarrow y = \frac{- 24}{\sqrt{73}} \end{matrix}$

Vậy đường thẳng cắt elip tại 2 điểm là: $M_{1} (\frac{12}{\sqrt{73}}; \frac{24}{\sqrt{73}}); M_{2} (\frac{- 12}{\sqrt{73}}; \frac{- 24}{\sqrt{73}})$

Đáp án C

Câu 23:

Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 12/13

A. $\frac{x^{2}}{26} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{52} + \frac{y^{2}}{25} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{5} = 1.$

Xem đáp án

Câu 24:

Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ . Phương trình chính tắc của elip là:

A. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1.$

B. $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

C. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

D. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Xem đáp án

Câu 25:

16/07/2024

Cho elip (E) có phương trình $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6 m} = 1$ . Giá trị của m để phương trình đó là phương trình chính tắc của một elip có tiêu cự bằng 8 là:

A. m = - 2

B. m = 8

C. m = - 2 hoặc m = 8

D. không tồn tại m

Xem đáp án

Câu 26:

16/07/2024

Elip đi qua các điểm M (0; 3) và $N (3; - \frac{12}{5})$ có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

B. $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 27: