Lời giải

Phương trình đường thẳng có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là:

$$\begin{gathered} ax+by+c=0 \\ \iff y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\left(b\ne 0\right) \end{gathered}$$

Suy ra hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$.

Lời giải

Ta có đường thẳng vuông góc đường thẳng với đường thẳng đã cho

Suy ra:

$\left(d\right):\left(1-\sqrt{2}\right)x+\left(\sqrt{2}+1\right)y+c=0$

Mà :

$M\left(\sqrt{2},1\right)\in \left(d\right)\Rightarrow c=1-2\sqrt{2}$

Vậy  :

$\left(1-\sqrt{2}\right)x+\left(\sqrt{2}+1\right)y+1-2\sqrt{2}=0$

Lời giải

Ta có $\left(d\right):\left\{\begin{array}{l}VTCP\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)\\ quaM\left(1;3\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$

$\Rightarrow \left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3+2t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$ loại A

Ta có $\left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3+2t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$

$\Rightarrow \frac{x-1}{-1}=\frac{y-3}{2}$ loại B

Có: $VTCP\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)$

$\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$

suy ra $\left(d\right):2\left(x-1\right)+1\left(x-3\right)=0$

$\iff 2x+3y-5=0$ loại C

Lời giải

Gọi M trung điểm BC  $\Rightarrow M\left(-2;1\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(0;-2\right) \\ \Rightarrow \left(AM\right):\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3-2t\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-4\right)$ làm VTPT

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(d\right):x+1-2\left(y-2\right)=0 \\ \iff x-2y+5=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có $\left(d\right):2x+3y-4=0$

$\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=\left(2;3\right)=\left(-4;-6\right)$

Lời giải

Giả sử $N\left(5;0\right)\in d:3x-7y+15=0$

$\Rightarrow 3.5-7.0+15=0\left(vl\right)$.

Lời giải

Ta có $\left(AB\right):\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{x+2}{-4}=\frac{y-4}{-3} \\ \iff 3x-4y+22=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có đường thẳng $\left(d\right):3x+5y-15=0$ có VTPT $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)\\ quaA\left(5;0\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}VTCP\overrightarrow{u}=\left(-\frac{5}{3};1\right)\\ quaA\left(5;0\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=5-\frac{5}{3}t\\ y=t\end{array}\right.$Suy ra D đúng.

 $\left(d\right):3x+5y-15=0$

$\iff 3x+5y=15$

$\iff \frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1$Suy ra A đúng.

Lời giải

Ta có: $M\left(-1;4\right);N\left(4;-1\right)$. MN đi qua $M\left(-1;4\right)$ và nhận $\overrightarrow{MN}=\left(5;-5\right)$ làm  VTPT

$\Rightarrow MN:\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\ y=4-5t\end{array}\right.$

Lời giải

Gọi $A\in Ox$

$\Rightarrow A\left(x_A;0\right);B\in Oy\Rightarrow B\left(0;y_B\right)$

Ta có M là trung điểm  AB

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2x_M\\ y_A+y_B=2y_M\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A=10\\ y_B=-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra (AB)

$$\begin{gathered} \left(AB\right):\frac{x}{10}+\frac{y}{-6}=1 \\ \iff 3x-5y-30=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cách đều B,C. Khi đó ta có các trường hợp sau

TH1: d đi qua trung điểm của BC. $\text{I}\left(\frac{5}{2};2\right)$ là trung điểm của BC.$\overrightarrow{\text{AM}}=\left(\frac{3}{2};1\right)$ là VTCP của đường thẳng d. Khi đó

$$\begin{gathered} \text{ (d) }:-2(x-1)+3(y-1)=0 \\ \iff -2x+3y-1=0 \end{gathered}$$

TH2: d song song với BC, khi đó d nhận $\overrightarrow{\text{BC}}=(1;4)$ làm VTCP, phương trình đường thẳng

$$\begin{gathered} \left(d\right):-4(x-1)+y-1=0 \\ \iff -4x+y+3=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Đặt F(x,y) = 2x – y - 1

Thay P (6;1)

vào $\text{F}(\text{x};\text{y})\Rightarrow 2.6-1-1=10$

Thay Q (-3;-4)  

vào  $\text{F}(\text{x};\text{y})\Rightarrow 2\cdot (-3)-(-2)-1=-5$

Suy ra P; Q nằm về hai phía của đường thẳng $∆$ .

Ta có MP + MQ nhỏ nhất $\iff$ M,P,Q thẳng hàng

 $\iff \overrightarrow{\text{PQ}}$ cùng phương $\overrightarrow{\text{PM}}$ suy ra M (0;1).

Lời giải

Gọi AI là đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi $H_1$ là trực tâm của $△\text{ABC}$ khi đó tọa độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{l}2\text{x}+\text{y}-4=0\\ \text{x}-\text{y}-3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\text{x}=\frac{7}{3}\\ \text{y}=-\frac{2}{3}\end{array}\cdot \right.\right.$

$\overrightarrow{{\text{AH}}_1}=\left(-\frac{5}{3};\frac{4}{3}\right)$

AI qua ${\text{H}}_1\left(\frac{7}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và nhận $=(4;5)$ làm VTPT

$$\begin{gathered} \Rightarrow \text{AI}:4\left(\text{x}-\frac{7}{3}\right)+5\left(\text{y}+\frac{2}{3}\right)=0 \\ \iff 4\text{x}+5\text{y}-6=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Phương trình đoạn chắn $\left(\text{AB}\right):\frac{\text{x}}{\text{a}}+\frac{\text{y}}{\text{b}}=1$

Do tam giác OAB vuông cân tại  O 

$\iff \left|\text{a}\right|=\left|\text{b}\right|\iff \left[\begin{array}{l}\text{b}=\text{a}\\ \text{b}=-\text{a}\end{array}\right.$

TH1: $\text{b}=\text{a}\Rightarrow \frac{\text{x}}{\text{a}}+\frac{\text{y}}{\text{a}}=1$

$\iff \text{x}+\text{y}=\text{a}$

mà $\text{M}(2;-3)\in \left(\text{AB}\right)$

$\Rightarrow 2-3=\text{a}\iff \text{a}=-1\Rightarrow \text{b}=-1$

Vậy $\left(\text{AB}\right):\text{x}+\text{y}+1=0$

TH2:$\text{b}=-\text{a}\Rightarrow \frac{\text{x}}{\text{a}}-\frac{\text{y}}{\text{a}}=1$

$\iff \text{x}-\text{y}=\text{a}$

mà $\text{M}(2;-3)\in \left(\text{AB}\right)$

$\Rightarrow 2+3=\text{a}\iff \text{a}=5\Rightarrow \text{b}=-5$

Vậy $\left(\text{AB}\right):\text{x}-\text{y}-5=0$

Lời giải

Ta có $\left(\Delta \right)//\left(d\right)x-2y+1=0$

$\Rightarrow \left(\Delta \right):x-2y+c=0\left(c\ne 1\right)$

Ta lại có $M\left(1;-1\right)\in \left(\Delta \right)$

$\Rightarrow 1-2\left(-1\right)+c=0\iff c=-3$

Vậy $\left(\Delta \right):x-2y-3=0$

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-6;8\right)$

Gọi $AA\text{'}$ là đường cao của tam giác $\Delta ABC$ $\Rightarrow AA\text{'}$nhận  

$\left\{\begin{array}{l}VTPT\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=\left(-6;8\right)\\ quaA\left(1;-2\right)\end{array}\right.$

Suy ra $AA\text{'}:-6\left(x-1\right)+8\left(y+2\right)=0$

$$\begin{gathered} \iff -6x+8y+22=0 \\ \iff 3x-4y-11=0 \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có $\left(\Delta \right)\perp \left(d\right):4x-3y+5=0$

$\Rightarrow \left(\Delta \right):3x+4y+c=0$

Ta lại có $O\left(0;0\right)\in \left(\Delta \right)\Rightarrow c=0$

Vậy $\left(\Delta \right):3x+4y=0$

Lời giải

Ta có $\left(d\right):3x+y+11=0$

$\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$

Thay $A\left(-4;1\right)$ vào $\left(d\right):3x+y+11=0$ 

$\Rightarrow 3.\left(-4\right)+1+11=0\left(ld\right)$ loại B

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(3;1\right)$ xét $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BC}=3.3+1.1=10\ne 0$ loại A

Gọi M là trung điểm của BC$\Rightarrow M\left(\frac{7}{2};-\frac{13}{2}\right)$ thay vào (d)

$\Rightarrow 3.\frac{7}{2}-\frac{13}{2}+11=4+11=15\ne 0$ loại C

Lời giải

Ta có $\left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=-3+5t\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(d\right):5x+2y+1=0$

Ta có $M=\left(d\right)\cap \left(d\text{'}\right)\Rightarrow M$ là nghiệm của hệ phương trình  

$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-1=0\\ 5x+2y+1=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Lời giải

$\left(d_1\right)\cap \left(d_2\right)$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}mx+y=m+1\left(1\right)\\ x+my=2\left(2\right)\end{array}\right.$có một nghiệm

Thay (2) vào (1) $\Rightarrow m\left(2-my\right)+y=m+1$

$\iff \left(1-m^2\right)y=1-m\left(*\right)$

Hệ phương trình có một nghiệm $\iff \left(*\right)$ có một nghiệm $\iff \left\{\begin{array}{l}1-m^2\ne 0\\ m-1\ne 0\end{array}\right.\iff m\ne 1$

Lời giải

Phương trình đoạn chắn $\left(AB\right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$ loại B

$$\begin{gathered} \left(AB\right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1 \\ \iff 5x+4y-20=0 \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}VTPT\overrightarrow{n}=\left(5;4\right)\Rightarrow VTCP\overrightarrow{u}=\left(-4;5\right)\\ quaA\left(4;0\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(AB\right):\left\{\begin{array}{l}x=4-4t\\ y=5t\end{array}\right.\left(t\in ℝ\right)$loại A

$\left(AB\right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1\iff \frac{y}{5}=1-\frac{x}{4}$

$\iff \frac{y}{5}=\frac{x-4}{-4}$ loại C

$\left(AB\right):\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1\iff \frac{y}{5}=1-\frac{x}{4}$

$\iff y=-\frac{5}{4}x+5$ chọn D

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{\text{PQ}}=(-4;-10)$

$\Rightarrow \text{VTPT}\overrightarrow{{\text{n}}_{\text{PQ}}}=(10;-4)$

Suy ra phương trình $\left(\text{PQ}\right):5\text{x}-2\text{y}+7=0$

Ta có $|\text{NA}-\text{NB}|\le \text{AB}$

Dấu “ =”  xãy ra khi và chỉ khi N,A,B thẳng hàng

Ta có $\text{N}=\text{PQ}\cap \text{Δ}$

$\Rightarrow N$ là nghiệm của hệ phương trình 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5\text{x}-2\text{y}+7=0\\ 2\text{x}-\text{y}-1=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{x}=-9\\ \text{y}=-19\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \text{N}(-9;-19) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(d\right):3x+5y-15=0 \\ \iff -5y=3x-15 \end{gathered}$$

$\iff y=-\frac{3}{5}x+1$Suy ra B đúng.

Lời giải

Ta có:

$BH\perp AC\Rightarrow \left(AC\right):x+y+c=0$

Mà

$$\begin{gathered} C\left(-1;2\right)\in \left(AC\right) \\ \Rightarrow -1+2+c=0\Rightarrow c=-1 \end{gathered}$$

Vậy $\left(AC\right):x+y-1=0$

Có $A=AN\cap AC\Rightarrow A$ là nghiệm của hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}\right. \\ \Rightarrow A\left(\frac{-4}{3};\frac{7}{3}\right) \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có  $A=AB\cap AC\Rightarrow A\left(0;3\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left(1;-2\right)$

Ta có: $BH\perp AC$

$\Rightarrow \left(BH\right):7x-4y+d=0$

Mà $H\left(1;1\right)\in \left(BH\right)\Rightarrow d=-3$

 suy ra $\left(BH\right):7x-4y-3=0$

Có $B=AB\cap BH\Rightarrow B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$

Phương trình (BC) nhận $\overrightarrow{AH}=\left(1;-2\right)$ là VTPT và qua $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$

Suy ra $\left(BC\right):\left(x+5\right)-2\left(y+\frac{19}{2}\right)=0$

$\iff x-2y-14=0$

Lời giải

Ta có $AB\perp CH\Rightarrow \left(AB\right):x+y+c=0$

Mà $AB\perp CH\Rightarrow \left(AB\right):x+y+c=0$

Suy ra $\left(AB\right):x+y+1=0$

Có $B=AB\cap BN\Rightarrow N$ là nghiệm hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=3\end{array}\right.\Rightarrow B\left(-4;3\right) \end{gathered}$$