Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh tam giác ABC

Giải SBT Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 4 trang 65 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.

Lời giải

Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC.

Vì AM là phân giác của góc BAC nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$

•Xét ΔAMH và ΔAMK có:

$\widehat{AHM}=\widehat{AKM}\left(=90°\right)$,

AM là cạnh chung,

$\widehat{HAM}=\widehat{KAM}$ (do $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$).

Do đó ΔAMH = ΔAMK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MH = MK (hai cạnh tương ứng).

• Xét ΔBMH và ΔCMK có:

$\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90°\right)$,

BM = CM (do AM là đường trung tuyến của ΔABC),

MH = MK (chứng minh trên).

Do đó ΔBMH = ΔCMK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.