Đáp án: C

Giải thích:

Vì $△\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{AC}>\mathrm{BC}>\mathrm{AB}$ nên theo quan hệ cạnh và góc trong tam giác ta có $\hat{\mathrm{C}}<\hat{\mathrm{A}}<\hat{\mathrm{B}}$

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $△\mathrm{DEF}$ có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{D}}+\hat{\mathrm{E}}+\hat{\mathrm{F}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{E}}+\hat{\mathrm{F}}=180°-\hat{\mathrm{D}} \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{E}}+\hat{\mathrm{F}}=180°-60° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{E}}+\hat{\mathrm{F}}=120° \left(1\right) \end{gathered}$$

Ta có: $\hat{\mathrm{E}}-\hat{\mathrm{F}}=30°$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{F}}+30°+\hat{\mathrm{F}}=120° \\ \Rightarrow 2\hat{\mathrm{F}}=120°-30°=90° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{F}}=90°:2=45° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{F}}+30°=45°+30°=75° \end{gathered}$$

Do đó: $\hat{\mathrm{F}}<\hat{\mathrm{D}}<\hat{\mathrm{E}} \left(45°<60°<75°\right)$ suy ra $\mathrm{DE}<\mathrm{EF}<\mathrm{FD}$

Đáp án: D

Giải thích:

Từ đề bài $\hat{\mathrm{C}}>\hat{\mathrm{B}}\Rightarrow \mathrm{AB}>\mathrm{AC}$. Trên cạnh AB lấy AB lấy điểm E sao cho $\mathrm{AC}=\mathrm{AE}$

Xét tam goác ACD và tam giác AED có:

AC = AE

$\widehat{\mathrm{CAD}}=\widehat{\mathrm{DAB}}$ (tính chất tia phân giác)

Cạnh AD chung

$\Rightarrow △\mathrm{ACD}=△\mathrm{AED}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{DE}=\mathrm{CD}$ (1) và $\widehat{\mathrm{AED}}=\widehat{\mathrm{ACD}}$

Mà $\widehat{\mathrm{ACD}}$ là góc nhọn nên $\widehat{\mathrm{AED}}$ là góc nhọn, suy ra:

$\widehat{\mathrm{BED}}=180°-\widehat{\mathrm{AED}}$ là góc tù, do đó $\widehat{\mathrm{BED}}>\widehat{\mathrm{EBD}}$

Xét tam giác BED có $\widehat{\mathrm{BED}}>\widehat{\mathrm{EBD}}$ suy ra $\mathrm{BD}>\mathrm{DE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{DC}<\mathrm{BD}$

Đáp án: C

Giải thích:

Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt BC tại H

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD có:

BD cạnh chung

$\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}=△\mathrm{HBD}$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{HD}$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có $\widehat{{\mathrm{D}}_1}$ là góc ngoài đỉnh D của  nên ta có:

$\widehat{{\mathrm{D}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{\mathrm{DCH}}\Rightarrow \widehat{{\mathrm{D}}_1}>\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Mà $\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (vì BD là phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$) nên $\widehat{{\mathrm{D}}_1}>\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ suy ra $\mathrm{AB}>\mathrm{AD}$

Xét $△\mathrm{DHC}$ có $\widehat{\mathrm{DHC}}=90°$ nên $\mathrm{DC}>\mathrm{HD}$

Mặt khác $\mathrm{AD}=\mathrm{HD}$ (cmt) nên $\mathrm{DC}>\mathrm{AD}$

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ABH}}=180°$ (hai góc kề bù) mà $\widehat{\mathrm{ABC}}<135°$ (gt)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABH}}>180°-135°=45°$(1)

$△\mathrm{AHB}$ có $\widehat{\mathrm{AHB}}=90°$ nên $\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{BAH}}=90°$, mà

$\widehat{\mathrm{ABH}}>45°$ suy ra $\widehat{\mathrm{BAH}}<90°-45°=45°$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{\mathrm{ABH}}>\widehat{\mathrm{BAH}}$ suy ra $\mathrm{AH}>\mathrm{BH}$ (3)

$△\mathrm{AHC}$ có $\widehat{\mathrm{AHC}}=90°$ nên $\widehat{\mathrm{CAH}}+\hat{\mathrm{C}}=90°$, mà $\hat{\mathrm{C}}<45°$ (gt)

Nên $\widehat{\mathrm{CAH}}>90°-45°=45°$. Từ đó suy ra $\hat{\mathrm{C}}<\widehat{\mathrm{CAH}}$ suy ra $\mathrm{AH}<\mathrm{CH}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\mathrm{BH}<\mathrm{AH}<\mathrm{CH}$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì $△\mathrm{MNP}$ có $\mathrm{MN}<\mathrm{MP}<\mathrm{NP}$ nên theo quan hệ cạnh và góc trong tam giác ta có $\hat{\mathrm{P}}<\hat{\mathrm{N}}<\hat{\mathrm{M}}$

Đáp án: C

Giải thích:

Vì M là trung điểm của BC (gt) $\Rightarrow \mathrm{MB}=\mathrm{MC}$ (tính chất trung điểm)

Ta có: $\widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{DMC}}$ (hai góc đối đỉnh)

Xét $△\mathrm{ABM}$ và $△\mathrm{DCM}$ có:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AM}=\mathrm{MD}\left(\mathrm{gt}\right)\\ \widehat{\mathrm{AMB}}=\widehat{\mathrm{DMC}}\left(\mathrm{cmt}\right)\\ \mathrm{BM}=\mathrm{MC}\left(\mathrm{cmt}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow △\mathrm{ABM}=△\mathrm{DCM}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{DC}$ (1) (hai cạnh tương ứng)

Lại có, $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$ (gt) (2). Từ (1) và (2) $\Rightarrow \mathrm{DC}<\mathrm{AC}$

Xét có $△\mathrm{ADC}$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{CAD}}<\widehat{\mathrm{CDA}}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác )

Đáp án: A

Giải thích:

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh 9cm là cạnh nhỏ nhất trong tam giác nên góc nhỏ nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài 9cm.

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=10\mathrm{cm}\left(1\right)\\ \mathrm{AC}-\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}\left(2\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{AC}=10-\mathrm{AB}$. Thế vào (2) ta được:

$$\begin{gathered} 10-\mathrm{AB}-\mathrm{AB}=4\Rightarrow 2\mathrm{AB}=6\Rightarrow \mathrm{AB}=3\mathrm{cm} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=10-3=7\mathrm{cm} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}>\mathrm{AB}\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}>\hat{\mathrm{C}} \end{gathered}$$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=12\mathrm{cm}\left(1\right)\\ \mathrm{AB}-\mathrm{AC}=3\mathrm{cm} \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) suy ra $\mathrm{AC}=12-\mathrm{AB}$. Thế vào (2) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{AB}-\left(12-\mathrm{AB}\right)=3\Rightarrow \mathrm{AB}-12+\mathrm{AB}=3 \\ \Rightarrow 2\mathrm{AB}=15\Rightarrow \mathrm{AB}=15:2=7,5\mathrm{cm} \\ \Rightarrow \mathrm{AC}=12-7,5=4,5\mathrm{cm} \\ \Rightarrow \mathrm{AB}>\mathrm{AC}\Rightarrow \hat{\mathrm{C}}>\hat{\mathrm{B}} \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ có $\mathrm{AB}<\mathrm{AC}$ (gt)

Mặt khác $\mathrm{BP}=\mathrm{CN}$ (gt) suy ra $\mathrm{AB}-\mathrm{BP}<\mathrm{AC}-\mathrm{CN}$ hay $\mathrm{AP}<\mathrm{AN}$

$△\mathrm{APN}$ có $\mathrm{AP}<\mathrm{AN}$ suy ra $\widehat{\mathrm{APN}}<\widehat{\mathrm{ANP}}$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Đáp án: C

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ có AB = AC nên $△\mathrm{ABC}$ cân tại A suy ra $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$ (tính chất tam giác cân)(1)

BN là tia phân giác $\hat{\mathrm{B}}$ nên $\widehat{\mathrm{IBC}}=\frac{1}{2}\hat{\mathrm{B}}$ (2)

CM là tia phân giác $\hat{\mathrm{C}}$ nên $\widehat{\mathrm{ICB}}=\frac{1}{2}\hat{\mathrm{C}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\widehat{\mathrm{IBC}}=\widehat{\mathrm{ICB}}$ do đó $△\mathrm{IBC}$ cân tại I suy ra $\mathrm{IB}=\mathrm{IC}$ (tính chất tam giác cân)

Đáp án: B

Giải thích:

$△\mathrm{AMN}$ có $\widehat{\mathrm{MAN}}=90°$ nên $\widehat{\mathrm{AMN}}+\widehat{\mathrm{ANM}}=90°$ suy ra $\widehat{\mathrm{AMN}}<90°$

Ta có: $\widehat{\mathrm{AMN}}+\widehat{\mathrm{NMB}}=180°$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{NMB}}=180°-\widehat{\mathrm{AMN}}>180°-90°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{NMB}}>90°$ hay $\widehat{\mathrm{NMB}}$ là góc tù

Xét $△\mathrm{MNB}$ có $\widehat{\mathrm{NMB}}$ là góc tù nên $\mathrm{BN}>\mathrm{MN}$(1)

$△\mathrm{ABN}$ có $\widehat{\mathrm{BAN}}=90°$ nên $\widehat{\mathrm{ABN}}+\widehat{\mathrm{ANB}}=90°$ suy ra $\widehat{\mathrm{ANB}}<90°$

Ta có: $\widehat{\mathrm{ANB}}+\widehat{\mathrm{CNB}}=180°$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{CNB}}=180°-\widehat{\mathrm{ANB}}>180°-90°$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{CNB}}>90°$ hay $\widehat{\mathrm{CNB}}$ là góc tù

Xét $△\mathrm{BCN}$ có $\widehat{\mathrm{CNB}}$ là góc tù nên $\mathrm{BC}>\mathrm{BN}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{MN}<\mathrm{BN}<\mathrm{BC}$ hay $\mathrm{MN}<\mathrm{BC}$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có:

$\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°-\hat{\mathrm{A}}=180°-80°=100°$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=100°\left(1\right)\\ \hat{\mathrm{B}}-\hat{\mathrm{C}}=20°\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2) $\Rightarrow \hat{\mathrm{C}}=100°-\hat{\mathrm{B}}$. Thế vào (1) ta được:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{B}}-\left(100°-\hat{\mathrm{B}}\right)=20° \\ \Rightarrow 2\hat{\mathrm{B}}=120°\Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=60° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{C}}=60°-20°=40° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{C}}<\hat{\mathrm{B}}<\hat{\mathrm{A}}\Rightarrow \mathrm{AB}<\mathrm{AC}<\mathrm{BC} \end{gathered}$$

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có:

$\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \hat{\mathrm{C}}=180°-\left(\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}\right) \\ =180°-40°-95°=45° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}<\hat{\mathrm{C}}<\hat{\mathrm{B}}\Rightarrow \mathrm{BC}<\mathrm{AB}<\mathrm{AC} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABD}$ và $△\mathrm{ACE}$ có:

AB = AC (gt)

$\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$ (tính chất tam giác cân)

BD = EC (gt)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}=△\mathrm{ACE}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{EAC}}$ (hai góc tương ứng)

Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho $\mathrm{AD}=\mathrm{DF}$

Xét $△\mathrm{ADE}$ và $△\mathrm{FDB}$ có:

AD = DF (gt)

BD = DE (gt)

$\widehat{\mathrm{ADE}}=\widehat{\mathrm{BDF}}$ (đối đỉnh)

$$\begin{gathered} \Rightarrow △\mathrm{ADE}=△\mathrm{FDB}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right) \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{BFD}}\\ \mathrm{AE}=\mathrm{BF}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $\widehat{\mathrm{AEC}}>\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$ nên trong $△\mathrm{AEC}$ suy ra (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Mà $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\left(\mathrm{gt}\right)\\ \mathrm{BF}=\mathrm{AE}\left(\mathrm{cmt}\right)\end{array}\Rightarrow \mathrm{BF}<\mathrm{AB}\right.$

Xét $△\mathrm{ABF}$ có $\mathrm{BF}<\mathrm{AB}$ (cmt) suy ra $\widehat{\mathrm{BFA}}>\widehat{\mathrm{FAB}}$ (quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Vậy $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAE}}<\widehat{\mathrm{DAE}}$ nên B, C đúng

Vậy cả A, B, C đều đúng

Đáp án: A

Giải thích:

Xét $△\mathrm{ABC}$ có:

$\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \hat{\mathrm{C}}=180°-\left(\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}\right) \\ =180°-50°-70°=60° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}<\hat{\mathrm{C}}<\hat{\mathrm{B}}\Rightarrow \mathrm{BC}<\mathrm{AB}<\mathrm{AC} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Vì $\mathrm{AB}>\mathrm{AC}\Rightarrow \widehat{\mathrm{ACB}}>\widehat{\mathrm{ABC}}$ (1) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Vì BN là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{NBC}}=\frac{\widehat{\mathrm{ABC}}}{2}$ (2) (tính chất phân giác)

Vì CM là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}\Rightarrow \widehat{\mathrm{MCB}}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}$ (3) (tính chất phân giác)

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{MCB}}>\widehat{\mathrm{NBC}}$ hay $\widehat{\mathrm{ICB}}>\widehat{\mathrm{IBC}}$

Xét $△\mathrm{BIC}$ có $\widehat{\mathrm{MCB}}>\widehat{\mathrm{NBC}}$ (cmt) $\Rightarrow \mathrm{IB}>\mathrm{IC}$ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Đáp án: C

Giải thích:

Vì trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn mà cạnh 8cm là cạnh lớn nhất trong tam giác nên góc lớn nhất là góc đối diện với cạnh có độ dài 8cm

Đáp án: D

Giải thích:

Do $\hat{\mathrm{A}}>90°\Rightarrow \widehat{\mathrm{AEF}}<90°$ (vì $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{AEF}}+\widehat{\mathrm{AFE}}=180°$)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BEF}}>90°\Rightarrow \mathrm{BF}>\mathrm{EF}$(1) nên A đúng

Do $\hat{\mathrm{A}}>90°\Rightarrow \widehat{\mathrm{BFE}}<90°$(vì $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{AEF}}+\widehat{\mathrm{AFE}}=180°$)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BFC}}>90°\Rightarrow \mathrm{BF}<\mathrm{BC}$ (2) nên C đúng

Từ (1), (2) suy ra $\mathrm{BF}<\mathrm{BC}$ nên B đúng

Vậy cả A, B, C đều đúng