$y=\frac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}=\frac{x+1}{x+4}$

$x=-4$.

Chọn C.

Ta có tiệm cận đứng $x=2$.

Chọn B.

Ta có tiệm cận đứng $x=-2$.

Lại có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+2}=2$

$\Rightarrow TCN:y=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+2}=2$

$\Rightarrow TCN:y=2$

$\Rightarrow I(-2;2)$

Chọn A.

Ta có

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-4x}{2x-1}=-2$

$\Rightarrow TCN:y=-2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-4x}{2x-1}=-2$

$\Rightarrow TCN:y=-2$

Chọn D.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có TCĐ x=1.

Chọn A.

Đáp án đúng là B

Lời giải

Dễ thấy đồ thị hàm số $x=0$.

*Phương pháp giải:

 Dựa vào định nghĩa, ta tính:

+) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$. Nếu giới hạn này là một số hữu hạn $y_0$

thì ta kết luận đường TCN là $y=y_0$.

+) $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Trong đó $x_0$ là điểm mà hàm số không xác định.

Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này tiến tới vô cùng thì ta kết luận TCĐ là $x=x_0$

- Hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN là $y=\frac{a}{c}$ và TCĐ là $-\frac{d}{c}$

*Lý thuyết:

I. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$\hspace{0.17em}(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0\hspace{0.17em}$

II. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

Xem thêm

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

Ta có : $y=0$.

Chọn D.

Đồ thị hàm số ${\log }_{3}x$ không có tiệm cận ngang.

Chọn B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $y=0$.

Chọn C.

TXĐ: $D=ℝ$.

Ta có:

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{X^2}}}=1$,

 $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1$

Suy ra đồ thị có hai đường tiệm cận ngang $y=\pm 1$ và không có tiệm cận đứng.

Chọn B.

Xét hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-9}=\frac{x+1}{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}$

$x=\pm 3$.

Mặt khác $\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2-9}=0$

$y=0$.

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x^2-9}$ có 3 đường tiệm cận.

Chọn A.

TXĐ:  $D=ℝ$.

Ta có:  

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x+1}=1$, 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{\left|x\right|+1}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{-x+1}=-1$

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là  $y=\pm 1$.

Chọn C.

Ta có:  $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}-\sqrt{x^2-3x}}$ 

$=\frac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-3x}}{x^2-4-(x^2-3x)}$

$=\frac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-3x}}{3x-4}$

Khi đó

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-3x}}{3x-4}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}}}{3-\frac{4}{x}}$

$=\frac{-2}{3}$

$\Rightarrow y=\frac{-2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-3x}}{3x-4}$

$=\frac{-2}{3}$

$\Rightarrow y=\frac{-2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Chọn D.

TXĐ: $D=\left[-2;2\right]$. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Mặt khác $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(2-x\right)}}=+\infty$

và $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(2-x\right)}}=-\infty$ 

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng $x=\pm 2$.

Chọn A.

Tập xác định của hàm số là

$D=\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{1\right\}$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2}{x^2-x}=3\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2}{x^2-x}=3\end{array}\right.$

$y=3.$

Lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }y=\infty$

$x=1$.

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

Chọn A.

TXĐ: $D=\left(-\infty ;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right)\backslash \left\{-\frac{3}{2}\right\}$.

Ta có: $n=y\left(1\right)=\frac{1+1}{5}=\frac{2}{5}.$  

Mặt khác:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sqrt{4x^2-3}}{2x+3}$ 

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\sqrt{4-\frac{3}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{3}{2}.$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\sqrt{4x^2-3}}{2x+3}$

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-\sqrt{4-\frac{3}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{-1}{2}$ 

$\Rightarrow$Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.

Lại có: $\underset{x\to \left(\frac{3}{2}\right)}{\lim }y=\infty \Rightarrow x=-\frac{3}{2}$

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy  $m=3,n=\frac{2}{5}\Rightarrow m.n=\frac{6}{5}$.

Chọn A.

TXĐ: $D=\left[-2;+\infty \right)\backslash \left\{2\right\}$.

Ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x-\sqrt{x+2}}$ 

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{x}}{1-\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}=1\Rightarrow y=1$

 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác $\underset{x\to 2}{\lim }y=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{x-\sqrt{x+2}}=\infty$

$x=2$. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=3,\underset{x\to +\infty }{\lim }y=5$

$\Rightarrow$ y = 3, y = 5 là 2 đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác: $\underset{x\to 1}{\lim }y=\infty$

$\Rightarrow$ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Chọn A.

Xét phương trình 2f(x) – 5 = 0$\iff f\left(x\right)=\frac{5}{2}.$

Dựa vào BBT suy ra phương trình $f\left(x\right)=\frac{5}{2}.$ có 4 nghiệm phân biệt.

Do đó đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2f\left(x\right)-5}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Chọn B.

TXĐ: $D=ℝ$

Ta có:

 $y=\frac{4x^2+4x+3-4x^2-1}{\sqrt{4x^2+4x+3}+\sqrt{4x^2+1}}$ 

$=\frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x+3}+\sqrt{4x^2+1}}$

Khi đó:

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{2}{x}}{\sqrt{4+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}+\sqrt{4+\frac{1}{x}}}$

$=\frac{4}{4}=1;$ 

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}-\sqrt{4+\frac{1}{x}}}$

$=\frac{4}{-4}=-1;$

Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1 và y = - 1.

Chọn A.

Ta có : $y=\frac{1}{f\left(x\right)-2}=\frac{1}{\frac{3x-1}{x-1}-2}$

$=\frac{x-1}{x+1}$

$y=\frac{1}{f\left(x\right)-2}$.

Chọn C.

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng $y=2\left({\Delta }_2\right)$ .

Gọi $=\frac{5}{|a-1|}.$

Khi đó  $d_1.d_2=\left|a-1\right|.\frac{5}{\left|a-1\right|}=5$.

Chọn C.

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng $y=2\left({\Delta }_2\right)$.

Gọi $=|\frac{2a+3}{a+1}-2|=\frac{5}{|a+1|}$

Theo bất đẳng thức Cosi ta có: $\ge 2\sqrt{|a+1|.\frac{1}{|a+1|}}=2.$

Dấu bằng xảy ra

 $\iff \left|a+1\right|=\frac{1}{\left|a+1\right|}\iff {\left(a+1\right)}^2=1$

 $\iff \left[\begin{array}{l}a=0\\ a=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}M\left(0;3\right)\\ M\left(-2;1\right)\end{array}\right..$

Do $M\left(-2;1\right)$

$\Rightarrow x_0+y_0=-2+1=-1.$

Chọn B.

Gọi $M\left(a;\frac{a-1}{2a-3}\right)\left(a\ne \frac{3}{2}\right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến tại M là:

$y=\frac{-1}{{\left(2a-3\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{a-1}{2a-3}\left(d\right)$ 

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y=\frac{1}{2}\Rightarrow I\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$ .

Khi đó

 $d\left(I;d\right)=\frac{\left|\frac{a-\frac{3}{2}}{{\left(2a-3\right)}^2}-\frac{1}{2}+\frac{a-1}{2a-3}\right|}{\sqrt{\frac{1}{{\left(2a-3\right)}^2}+1}}$ 

$=\frac{\left|\frac{1-2a+3+2a-2}{2\left(2a-3\right)}\right|}{\sqrt{\frac{1}{{(2a-3)}^2}+1}}$

$=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{(2a-3)}^2}+{(2a-3)}^2}}$

Do  $\frac{1}{{\left(2a-3\right)}^2}+{\left(2a-3\right)}^2$

$\ge 2\sqrt{\frac{1}{{(2a-3)}^2}.{(2a-3)}^2}$

$=2\Rightarrow d\le \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy  $d_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Chọn A.

Ta có:  $\underset{x\to \infty }{\lim }y=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{m{x}^2-1}{x^2-3x+2}$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{m-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}=m$

$\Rightarrow$Đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang là đường thẳng y = m. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi nó có một tiệm cận khi nó có một tiệm cận đứng.

Ta có: $f\left(x\right)=m{x}^2-1$.

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi

$\left[\begin{array}{l}f\left(1\right)=0\\ f\left(2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m-1=0\\ 4m-1=0\end{array}\right.$.

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff m\in \left\{1;\frac{1}{4}\right\}$.

Chọn B.

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0 .

Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

TH1: $\left(m{x}^2-2x+1\right)\left(4x^2+4m+1\right)=0$ vô nghiệm

$\iff \left\{\begin{array}{l}1-m<0\\ 4m+1>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ m>-\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow m>1$.

TH2: Phương trình: $m{x}^2-2x+1=0\left(*\right)$ có đúng 1 nghiệm đơn

$x=\frac{1}{2}$

$\iff \{\begin{array}{l}4m+1>0\\ m=0\Rightarrow \left(*\right)\iff 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}\end{array}$

$\iff m=0$

Kết hợp 2 trường hợp suy ra $m\in \left\{0\right\}\cup \left(1;+\infty \right)$ .

Chọn C.

Ta thấy $1+\sqrt{x+1}>0\left(\forall x\ge -1\right)$ .

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $x_1,x_2\ge -1$.

 Chọn A.

Đồ thị hàm số $y=1\Rightarrow I\left(2;1\right)$ 

Gọi $a\ne 2$ suy ra phương trình tiếp tuyến tại M là:

$y=\frac{-4}{{\left(a-2\right)}^2}\left(x-a\right)+\frac{a+2}{a-2}\left(d\right).$

Ta có:  $d\cap x=2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{-4}{{\left(a-2\right)}^2\left(x-a\right)}+\frac{a+2}{a-2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow A(2;\frac{a+6}{a-2})$

$d\cap y=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=1\\ y=\frac{-4}{{\left(a-2\right)}^2\left(x-a\right)}+\frac{a+2}{a-2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow A\left(2;\frac{a+6}{a-2}\right)\Rightarrow B(2a-2;1)$

Khi đó  $IA=\left|\frac{a+6}{a-2}-1\right|=\frac{8}{\left|a-2\right|},$

$IB=\left|2a-4\right|\Rightarrow IA.IB=16$

Do $\Delta IAB$ vuông tại I nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là

 $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}}{2}$

Mặt khác $I{A}^2+I{B}^2\ge 2IA.IB=32$

$\Rightarrow R\ge \frac{\sqrt{32}}{2}=2\sqrt{2}$

Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng:

$C_{\min }=2\pi R_{\min }=4\pi \sqrt{2}$.

Chọn A.

Giao điểm của 2 đường tiệm cận là $I\left(-2;1\right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Hàm số đã cho là hàm đồng biến, có 2 trục đối xứng là 2 đường phân giác của các đường tiệm cận có phương trình là y = x và y = -x .

Do tính chất đối xứng nên: $AB\perp d:y=-x\Rightarrow AB:y=x+m$ 

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và AB là:

 $\frac{x-1}{x+2}=x+m$

$\iff \{\begin{array}{l}x\ne -2\\ g\left(x\right)=x^2+\left(m+1\right)x+2m+1=0\end{array}$

Điều kiện để AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt là:

$\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\left(2m+1\right)>0\\ g\left(-2\right)\ne 0\end{array}\right.$ 

Khi đó gọi  $A\left(x_1;x_1+m\right);B\left(x_2;x_2+m\right)$, theo Viet ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-m-1\\ x_1{x}_2=2m+1\end{array}\right.$ 

Tam giác ABC luôn cân tại I suy ra nó đều khi 

$IH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\iff d\left(I;AB\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$ 

$\iff \frac{\left|m-3\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2{\left(x_1-x_2\right)}^2}$

$\iff {(m-3)}^2=3[\left(x\right)$₁+x₂²−4x₁x₂]  

$=3(m^2+2m+1-8m-4)$

$\iff m^2-6m=9$

$\Rightarrow AB=\sqrt{2(m^2-6m-3)}=2\sqrt{3}$

Chọn B.