Hướng dẫn giải

Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cô si.

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$$\begin{gathered} P=-a+\sqrt{a}=-{\left(\sqrt{a}\right)}^2+\sqrt{a} \\ =\frac{1}{4}-{\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left.\begin{array}{l}{x}^2\ge 0\\ \left|x\right|\ge 0\end{array}\right\}\Rightarrow x^2+3\left|x\right|\ge 0$ 

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm $x^2$ và $y^2$.

Ta có:

$$\begin{gathered} A=x^2+y^2\ge 2\sqrt{x^2{y}^2} \\ =2\sqrt{{\left(xy\right)}^2}=4 \end{gathered}$$

Đẳng thức xảy ra $x=y=\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^2-5x+9$

$$\begin{gathered} ={\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}\ge \frac{11}{4}; \\ \forall x\in ℝ \end{gathered}$$

Suy ra: $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-5x+9}\le \frac{8}{11}$

 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{8}{11}$.

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x-x^2 \\ =-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4} \\ =\frac{1}{4}-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4} \end{gathered}$$

 và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

${\left(m+n\right)}^2\ge 4mn$

$\iff m^2+2mn+n^2\ge 4mn$

$\iff m^2+n^2\ge 2mn$

Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} a^2+ab+b^2 \\ =a^2+2a\frac{b}{2}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4} \\ ={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}>0;\forall b\ne 0 \end{gathered}$$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x,y. Ta có:

$$\begin{gathered} x+y\ge 2\sqrt{xy} \\ =2\sqrt{36}=12 \end{gathered}$$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x, y. Ta có:

$\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}=6$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$ .

Do đó: $ab>a+b$

$\iff \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}>a+b$

$\iff {\left(a+b\right)}^2-4\left(a+b\right)>0$

$\iff \left(a+b\right)\left(a+b-4\right)>0$

$\iff a+b-4>0$

(vì $a+b>0$) $\iff a+b>4$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left(x\right)\ge 0$ và $f\left(1\right)=0$;

$f\left(x\right)\le 1$ và $f\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số $f\left(x\right)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a+1}$

và $\frac{1}{y}=b+\frac{1}{b+1}$

Suy ra:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\left(a-b\right)\left[1-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\right]$

Do $a>b>0$ nên $a+1>1$ và $b+1>1$ suy ra:

$\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}<1$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}>0$

Vậy $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}>0$ $\iff \frac{1}{x}>\frac{1}{y}$

do $x>0$ và $y>0$ nên $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}\iff x<y$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{\left(a-b\right)c}{b\left(b+c\right)}$  

suy ra A, B đúng.

Hướng dẫn giải

Ta có: $0<f\left(x\right)\le 1;\forall x\in ℝ$ và $f\left(0\right)=1$ Vậy $f\left(x\right)$ không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.

Hướng dẫn giải

Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích ab.