27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức

Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?

A.

\{\begin{cases} a < b \\ c < d \end{cases} \Rightarrow a + c < b + d

B.

\{\begin{cases} 0 < a < b \\ 0 < c < d \end{cases} \Rightarrow \frac{a}{d} < \frac{b}{c}

C.

\{\begin{matrix} 0 < a < b \\ 0 < c < d \end{matrix} \Rightarrow a c < b d

D.

\{\begin{matrix} a < b \\ c < d \end{matrix} \Rightarrow a - c < b - d

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 5:

20/07/2024

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. $a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

B.

a < b \Rightarrow a c < b c

C.

\{\begin{cases} a < b \\ c < d \end{cases} \Rightarrow a c < b d

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 6:

21/07/2024

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\{\begin{cases} a < b \\ c < d \end{cases} \Rightarrow a + c < b + d$

B.

\{\begin{cases} a \leq b \\ c \leq d \end{cases} \Rightarrow a c < b d

C. $\{\begin{cases} a \leq b \\ c > d \end{cases} \Rightarrow a - c < b - d$

D.

a c \leq b c \Rightarrow a \leq b (c > 0)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 7:

. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Cho biểu thức

P = - a + \sqrt{a}

với

a \geq 0

A. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{4}$ .

B. Giá trị lớn nhất của P là

\frac{1}{4}

.

C. Giá trị lớn nhất của P là

\frac{1}{2}

.

D. P đạt giá trị lớn nhất tại

a = \frac{1}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P = - a + \sqrt{a} = - {(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a} = \frac{1}{4} - {(\sqrt{a} - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$

Câu 8:

10/07/2024

Cho bất đẳng thức

|a - b| \leq |a| + |b|

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

A. $a = b$ .

B. $a b \leq 0$ .

C. $a b \geq 0$ .

D. $a b = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Tính chất của bất đẳng thức.

Câu 9:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x^{2} + 3 |x|

với

x \in ℝ

là:

A. $- \frac{9}{4}$ .

B. $- \frac{3}{2}$ .

C. 0.

D. $\frac{3}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{2} \geq 0 \\ |x| \geq 0 \end{array}\} \Rightarrow x^{2} + 3 |x| \geq 0$

Câu 10:

21/12/2024

Cho x,y là hai số thực bất kỳ thỏa và

x y = 2

. Giá trị nhỏ nhất của

A = x^{2} + y^{2}

.

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là : D

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm $x^{2}$ và $y^{2}$ .

Ta có:

$A = x^{2} + y^{2} \geq 2 \sqrt{x^{2} y^{2}} = 2 \sqrt{{(x y)}^{2}} = 4$

Đẳng thức xảy ra $x = y = \sqrt{2}$

*Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức co si

*Lý thuyết:

- Khái quát: Bất đẳng thức Cosi, hay còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, là một trong những bất đẳng thức cơ bản và phổ biến nhất trong toán học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến bất đẳng thức và cực trị. Bất đẳng thức này được đặt theo tên của nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, một trong những nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 19.

- Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

$\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2} \forall a, b \geq 0$

Đẳng thức $\sqrt{a b} = \frac{a + b}{2}$ xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Các hệ quả của BĐT Cô - si

+ Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

$a + \frac{1}{a} \geq 2$ , $\forall a > 0$

+ Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

+ Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng (x + y) nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Các công thức

$\forall x, y > 0$ , nếu $(x + y)$ không đổi thì ${(x . y)}_{\max} \Leftrightarrow x = y$ .

$\forall x, y > 0$ , nếu $(x . y)$ không đổi thì ${(x + y)}_{\min} \Leftrightarrow x = y$ .

Xem thêm

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) và hệ quả (2025) chi tiết nhất

Trắc nghiệm Bất đẳng thức có đáp án (Nhận biết)

Câu 11:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = \frac{2}{x^{2} - 5 x + 9}

bằng

A. $\frac{11}{4}$ .

B. $\frac{4}{11}$ .

C. $\frac{11}{8}$ .

D. $\frac{8}{11}$ .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{2} - 5 x + 9$

$= {(x - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4}; \forall x \in ℝ$

Suy ra: $f (x) = \frac{2}{x^{2} - 5 x + 9} \leq \frac{8}{11}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{8}{11}$ .

Câu 12:

11/07/2024

. Kết luận nào sau đây là đúng?

f (x) = x - x^{2}

A. $f (x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$

B. $f (x)$ có giá trị lớn nhất bằng

\frac{1}{2}

.

C. $f (x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{1}{4}$ .

D. $f (x)$ có giá trị lớn nhất bằng

\frac{1}{4}

.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải

$f (x) = x - x^{2} = - (x^{2} - x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - {(x - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$

và $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Câu 13:

15/07/2024

Bất đẳng thức

{(m + n)}^{2} \geq 4 m n

tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A. $n {(m - 1)}^{2} - m {(n - 1)}^{2} \geq 0$

B.

m^{2} + n^{2} \geq 2 m n

C. ${(m + n)}^{2} + m - n \geq 0$

D.

{(m - n)}^{2} \geq 2 m n

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

${(m + n)}^{2} \geq 4 m n$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m n + n^{2} \geq 4 m n$

$\Leftrightarrow m^{2} + n^{2} \geq 2 m n$

Câu 14:

20/07/2024

Với mọi

a, b \neq 0

, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $a - b < 0$ .

B. $a^{2} - a b + b^{2} < 0$ .

C. $a^{2} + a b + b^{2} > 0$ .

D. $a - b > 0$ .

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải

$a^{2} + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a \frac{b}{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} > 0; \forall b \neq 0$

Câu 15:

12/07/2024

Với hai số x, y dương thoả

x y = 36

, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $x + y \geq 2 \sqrt{x y} = 12$ .

B. $x + y \geq 2 x y = 72$ .

C. $4 x y \leq x^{2} + y^{2}$ .

D. ${(\frac{x + y}{2})}^{2} \geq x y = 36$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x,y. Ta có:

$x + y \geq 2 \sqrt{x y} = 2 \sqrt{36} = 12$

Câu 16:

Cho hai số x, y dương thoả

x + y = 12

, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\sqrt{x y} \leq 6$ .

B. $x y < {(\frac{x + y}{2})}^{2} = 36$ .

C. $2 x y < x^{2} + y^{2}$ .

D. $\sqrt{x y} \geq 6$ .

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x, y. Ta có:

$\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2} = 6$

Câu 17:

12/07/2024

Cho $a, b, c > 0$ . Xét các bất đẳng thức:

I) $(1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a}) \geq 8$

II) $(\frac{2}{a} + b + c) (\frac{2}{b} + c + a) (\frac{2}{c} + a + b) \geq 64$

III) $a + b + c \leq a b c$ .

Bất đẳng thức nào đúng?

A. Chỉ I) đúng.

B. Chỉ II) đúng.

C. Chỉ I) và II) đúng.

D. Cả ba đều đúng.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Câu 18:

và xét ba bất đẳng thức (I)

x, y, z > 0

x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z

; (II)

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{9}{x + y + z}

; (III)

\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3

. Bất đẳng thức nào là đúng?

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ I và III đúng.

C. Chỉ III đúng.

D. Cả ba đều đúng.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 19:

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

a, b > 0

và

a b > a + b

A. $a + b = 4$ .

B. $a + b > 4$ .

C. $a + b < 4$ .

D. $a + b \leq 4$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$ .

Do đó: $a b > a + b$

$\Leftrightarrow \frac{{(a + b)}^{2}}{4} > a + b$

$\Leftrightarrow {(a + b)}^{2} - 4 (a + b) > 0$

$\Leftrightarrow (a + b) (a + b - 4) > 0$

$\Leftrightarrow a + b - 4 > 0$

(vì $a + b > 0$ ) $\Leftrightarrow a + b > 4$ .

Câu 20:

a < b < c < d

và

x = (a + b) (c + d)

y = (a + c) (b + d)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

z = (a + d) (b + c)

A. $x < y < z$ .

B.

y < x < z

C. $z < x < y$

D.

x < z < y

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Ta có:

Câu 21:

Với m, n >0, bất đẳng thức:

m n (m + n) < m^{3} + n^{3}

tương đương với bất đẳng thức

A. $(m + n) (m^{2} + n^{2}) \geq 0$ .

B. $(m + n) (m^{2} + n^{2} + m n) \geq 0$ .

C. $(m + n) {(m - n)}^{2} > 0$

D. Tất cả đều sai.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Câu 22:

15/07/2024

Bất đẳng thức:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a (b + c + d + e)

tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

\forall a, b, c, d

A. ${(a - \frac{b}{2})}^{2} + {(a - \frac{c}{2})}^{2} + {(a - \frac{d}{2})}^{2} + {(a - \frac{e}{2})}^{2} \geq 0$

B. ${(b - \frac{a}{2})}^{2} + {(c - \frac{a}{2})}^{2} + {(d - \frac{a}{2})}^{2} + {(e - \frac{a}{2})}^{2} \geq 0$

C. ${(b + \frac{a}{2})}^{2} + {(c + \frac{a}{2})}^{2} + {(d + \frac{a}{2})}^{2} + {(e + \frac{a}{2})}^{2} \geq 0$

D. ${(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(a - d)}^{2} + {(a - d)}^{2} \geq 0$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Câu 23:

10/07/2024

Cho biểu thức

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

. Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số $f (x)$ chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.

B. Hàm số

f (x)

chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

C. Hàm số $f (x)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

D. Hàm số

f (x)

không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải

Ta có: $f (x) \geq 0$ và $f (1) = 0$ ;

$f (x) \leq 1$ và $f (0) = 1$ .

Vậy hàm số $f (x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhất bằng 1.

Câu 24:

23/07/2024

a > b > 0

và

x = \frac{1 + a}{1 + a + a^{2}}