Chuyên đề Toán 10 Bài 4 (Kết nối tri thức): Nhị thức newton

Với giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức newton sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 KNTT Bài 4.

1 5,512 04/11/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 4: Nhị thức newton

Giải bài tập trang 32, 33 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5}.

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n $\in$ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)ⁿ:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Lời giải:

a) Có n + 1 số hạng, số hạng đầu tiên là aⁿ và số hạng cuối cùng là bⁿ.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

c) Số mũ của a giảm 1 đơn vị và số mũ của b tăng 1 đơn vị khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải.

HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ.

Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Ơasscal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chẳng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:

Giải bài tập trang 34 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10:

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴.

Lời giải:

a) (a + b)⁷ = a⁷ + 7a⁶b + 21a⁵b² + 35a⁴b³ + 35a³b⁴ + 21a²b⁵ + 7ab⁶ + b⁷.

b) (2x – 1)⁴ = [(2x + (–1)]⁴ = (2x)⁴ + 4(2x)³(–1) + 6(2x)²(–1)² + 4(2x)(–1)³ + (–1)⁴

= 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1.

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b $= C_{1}^{0} a + C_{1}^{0} b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² $= C_{2}^{0} a^{2} + C_{2}^{1} a b + C_{2}^{0} b^{2}$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $= C_{3}^{0} a^{3} + C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} + C_{3}^{0} b^{3}$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ , $C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ . Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n}^{k}$ và $C_{n}^{n - k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_{1}^{0} + C_{1}^{1}$ và $C_{2}^{1},$ $C_{2}^{0} + C_{2}^{1}$ và $C_{3}^{1}, ...$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ và $C_{n}^{k} .$

Lời giải:

Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta thấy

Dự đoán:

b) Ta thấy

Dự đoán:

Giải bài tập trang 35, 36 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

Lời giải:

Dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b +$ $\dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} .$

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶.

Lời giải:

(x – 2y)⁶

$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} (- 2 y) +$ $C_{6}^{2} x^{4} {(- 2 y)}^{2} + C_{6}^{3} x^{3} {(- 2 y)}^{3}$

$+ C_{6}^{4} x^{2} {(- 2 y)}^{4} + C_{6}^{5} x {(- 2 y)}^{5} + C_{6}^{6} {(- 2 y)}^{6}$

$= x^{6} - C_{6}^{1} 2 x^{5} y + C_{6}^{2} 2^{2} x^{4} y^{2} -$ $C_{6}^{3} 2^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} 2^{4} x^{2} y^{4}$ $- C_{6}^{5} 2^{5} x y^{5} + 2^{6} y^{6} .$

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ hay (–3x + 2)¹⁰ là

$C_{10}^{10 - 7} {(- 3 x)}^{7} 2^{10 - 7} = C_{10}^{3} {(- 3)}^{7} 2^{3} x^{7} = - 2099520 x^{7} .$

Vậy hệ số của x⁷ trong khai triển thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰ là –2099520.

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_{n}^{k}$ (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải:

a) Ta có:

${(x + 1)}^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} 1$ $+ C_{n}^{2} x^{n - 2} 1^{2} + \dots +$ $C_{n}^{n - 1} x 1^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{n}$

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} +$ $C_{n}^{2} x^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} x + C_{n}^{n} .$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1 + 1)}^{n} = C_{2}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1}$ $+ C_{n}^{2} 1^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} 1 + C_{n}^{n}$

hay $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots$ $+ C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} .$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

${(- 1 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} {(- 1)}^{n} {+C}_{n}^{1} {(- 1)}^{n - 1}$ $+ C_{n}^{2} {(- 1)}^{n - 2} + \dots$ $+ C_{n}^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{n}$

hay $0 = C_{n}^{0} {(- 1)}^{n} {+C}_{n}^{1} {(- 1)}^{n - 1} +$ $C_{n}^{2} {(- 1)}^{n - 2} + \dots$ $+ C_{n}^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{n} .$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 4

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:

a) (x – 1)⁵;

b) (2x – 3y)⁴.

Lời giải:

a) (x – 1)⁵ = [x + (–1)]⁵ = x⁵ + 5x⁴(–1) + 10x³(–1)² + 10x²(–1)³ + 5x(–1)⁴ + (–1)⁵

= x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1.

b) (2x – 3y)⁴ = [(2x + (–3y)]⁴

= (2x)⁴ + 4(2x)³(–3y) + 6(2x)²(–3y)² + 4(2x)(–3y)³ + (–3y)⁴

= 16x⁴ – 96x³y + 216x²y² – 216xy³ + 81y⁴.

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton:

a) (x + y)⁶;

b) (1 – 2x)⁵.

Lời giải:

a) (x + y)⁶

$= C_{6}^{0} x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} y + C_{6}^{2} x^{4} y^{2} + C_{6}^{3} x^{3} y^{3} + C_{6}^{4} x^{2} y^{4} + C_{6}^{5} x y^{5} + C_{6}^{6} y^{6}$

$= x^{6} + C_{6}^{1} x^{5} y + C_{6}^{2} x^{4} y^{2} + C_{6}^{3} x^{3} y^{3}$ $+ C_{6}^{4} x^{2} y^{4} + C_{6}^{5} x y^{5} + y^{6} .$

Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰.

Lời giải:

Số hạng chứa x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là

$C_{10}^{10 - 8} {(2 x)}^{8} 3^{10 - 8}$ $= C_{10}^{2} 2^{8} 3^{2} x^{8} = 103680 x^{8} .$

Vậy hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰ là 103680.

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90 . Tìm n.

Lời giải:

Số hạng chứa x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ hay [(–3x) +1]ⁿ là

$C_{n}^{n - 2} {(- 3 x)}^{2} 1^{n - 2} = 9 C_{n}^{2} x^{2} .$

Vậy hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là $9 C_{n}^{2} .$

$\Rightarrow 9 C_{n}^{2} = 90 \Rightarrow C_{n}^{2} = 10 \Rightarrow \frac{n (n - 1)}{2} = 10 \Rightarrow n = 5.$

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

(3x – 5)⁴ = (3x)⁴ + 4(3x)³(–5) + 6(3x)²(–5)² + 4(3x)(–5)³ + (–5)⁴

= 81x⁴ – 540x³ + 1350x² – 1500x + 625.

Tổng các hệ số của đa thức này là: 81 – 540 + 1350 – 1500 + 625 = 16.

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰.

Lời giải:

+) Số hạng chứa x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ hay [(–2x) +1]⁵ là

$C_{5}^{5 - 4} {(- 2 x)}^{4} 1^{5 - 4} = 80 x^{4} .$

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển của (1 – 2x)⁵ là 80

$\Rightarrow$ hệ số của x⁵ trong khai triển của x(1 – 2x)⁵ là 1.80 = 80 (1).

+) Số hạng chứa x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ hay [3x +1]¹⁰ là

$C_{10}^{10 - 3} {(3 x)}^{3} 1^{10 - 3} = 3240 x^{3} .$

Vậy hệ số của x³ trong khai triển của (1 + 3x)¹⁰ là 3240

$\Rightarrow$ hệ số của x⁵ trong khai triển của x²(1 + 3x)¹⁰ là 1.3240 = 3240 (2).

+) Từ (1) và (2) suy ra hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰ là 80 + 3240 = 3320.

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây:

$C_{2021}^{0} - 2 C_{2021}^{1} + 2^{2} C_{2021}^{2}$ $- 2^{3} C_{2021}^{3} + \dots - 2^{2021} C_{2021}^{2021} .$

Lời giải:

$C_{2021}^{0} - 2 C_{2021}^{1} + 2^{2} C_{2021}^{2} -$ $2^{3} C_{2021}^{3} + \dots - 2^{2021} C_{2021}^{2021}$

$= C_{2021}^{0} + C_{2021}^{1} (- 2) + C_{2021}^{2} {(- 2)}^{2}$ $+ C_{2021}^{3} {(- 2)}^{3} + \dots + C_{2021}^{2021} {(- 2)}^{2021}$

$= C_{2021}^{0} 1^{2021} + C_{2021}^{1} 1^{2020} (- 2) +$ $C_{2021}^{2} 1^{2019} {(- 2)}^{2} + C_{2021}^{3} 1^{2018} {(- 2)}^{3}$ $+ \dots + C_{2021}^{2021} {(- 2)}^{2021}$

$= {[1 + (- 2)]}^{2021} = {(- 1)}^{2021} = - 1.$

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots$ $+ C_{2 n}^{2 n} = 2^{2021} .$

Lời giải:

Áp dụng câu c) phần Vận dụng trang 36 ta có:

$C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{2} - C_{2 n}^{3}$ $+ C_{2 n}^{4} + \dots - C_{2 n}^{2 n - 1} + C_{2 n}^{2 n} = 0$

$\Rightarrow C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n}$ $= C_{2 n}^{1} + C_{2 n}^{3} + C_{2 n}^{5} + \dots + C_{2 n}^{2 n - 1} .$

Mặt khác, áp dụng câu b) phần Vận dụng trang 36 ta có:

Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + \dots$ $+ 2^{n} C_{n}^{n} = 243.$

Lời giải:

Có:

$C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} 2 + C_{n}^{2} 2^{2} + \dots + C_{n}^{n} 2^{n}$

$= C_{n}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} 2 + C_{n}^{2} 1^{n - 2} 2^{2}$ $+ \dots + C_{n}^{n} 2^{n} = {(1 + 2)}^{n} = 3^{n}$

$\Rightarrow 3^{n} = 243 \Rightarrow n = 5.$

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100 - k} x^{k} 2^{100 - k} = C_{100}^{k} 2^{100 - k} x^{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} x^{k} .$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là $2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \Rightarrow a_{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} .$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

$(1) \Leftrightarrow 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq 2^{100} \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{C_{100}^{k + 1}} \leq \frac{2^{k}}{2^{k + 1}}$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{100!}{k! (100 - k)!}}{\frac{100!}{(k + 1)! (100 - k - 1)!}} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{(k + 1)! (100 - k - 1)!}{k! (100 - k)!} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{k + 1}{100 - k} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (k + 1) \leq 100 - k \Leftrightarrow 3 k \leq 98 \Leftrightarrow k \leq 32$ (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1} $\Leftrightarrow k \leq 32$ nên a_k ≥ a_{k + 1} $\Leftrightarrow k \geq 32.$

Do đó $a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{32} \leq a_{33}$ $\geq a_{34} \geq a_{35} \geq ... \geq a_{100} .$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

1 5,512 04/11/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3