Chuyên đề Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chuyên đề 3

Với giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 KNTT Bài tập cuối chuyên đề 3.

1 2,953 05/11/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Giải bài tập trang 61 Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0. Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi x² + y² + 4xy – 8x + 6y – 27 = 0 (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Lời giải:

+) M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi

Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1.

Bài 3.22 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình đường conic có tâm sai $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Lời giải:

Xét điểm M(x; y) thuộc conic.

M(x; y) thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi

Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F (- \frac{b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $Δ : y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó Δ = b² – 4ac.

Lời giải:

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c đều có toạ độ (x; ax² + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\Leftrightarrow \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2}}$ $= |a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a}|$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - Δ}{4 a})}^{2} = {(a x^{2} + b x + c + \frac{1 + Δ}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$ $+ {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - Δ)}{4 a}]}^{2}$ $= {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + Δ)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} +$ ${[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - (1 - b^{2} + 4 a c)}{4 a}]}^{2}$ $= {[\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c + (1 + b^{2} - 4 a c)}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} - 1}{4 a})}^{2}$ $= {(\frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} + 1}{4 a})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\frac{2 a x + b}{2 a})}^{2} + {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} - 1}{4 a}]}^{2}$ $= {[\frac{{(2 a x + b)}^{2} + 1}{4 a}]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} + {[{(2 a x + b)}^{2} - 1]}^{2}$ $= {[{(2 a x + b)}^{2} + 1]}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 {(2 a x + b)}^{2} +$ $[{(2 a x + b)}^{4} - 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1]$ $= {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1$

$\Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1$ $= {(2 a x + b)}^{4} + 2 {(2 a x + b)}^{2} + 1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{M F}{d (M, Δ)} = 1$ hay MF = d(M, Δ)

Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Cho hai parabol có phương trình y² = 2px và y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x$ $- \frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0$ .

Lời giải:

+) Xét trường hợp a > 0.

Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax² + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax² + bx + c có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow b^{2} - 4 a c > 0.$

Xét phương trình đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} + (\frac{b}{a} - 2 p) x -$ $\frac{1}{a} y + \frac{c}{a} = 0.$

có ${[\frac{(\frac{b}{a} - 2 p)}{2}]}^{2} + {[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2} - \frac{c}{a}$ $= {(\frac{b}{2 a} - p)}^{2} + {(\frac{1}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$

$= \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} = (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}) - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} - \frac{b}{a} . p + p^{2} + \frac{1}{4 a^{2}}$

Vì b < 0 và $b^{2} - 4 a c > 0$ (chứng minh trên) nên $- \frac{b}{a} . p$ > 0 và $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} > 0$

Do đó ${[\frac{(\frac{b}{a} - 2 p)}{2}]}^{2} + {[\frac{\frac{1}{a}}{2}]}^{2} - \frac{c}{a} > 0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y² = 2px và y = ax² + bx + c $\Rightarrow$ y² – 2px = 0 và ax² + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y² – 2px = 0 và $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} - \frac{y}{a} = 0$

Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3 - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Lời giải:

Giả sử A(x₁; y₁), B(x₂; y₂).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow x_{1} + x_{2} = 2 x_{M} = 2.2 = 4, y_{1} + y_{2} = 2 y_{M} = 2.1 = 2.$

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{x_{1}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2}}{16} = 1$ và $\frac{x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{2}^{2}}{16} = 1.$

$\Rightarrow (\frac{x_{1}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2}}{16}) - (\frac{x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{2}^{2}}{16}) = 1 - 1 = 0$

$\Rightarrow \frac{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{25} + \frac{y_{1}^{2} - y_{2}^{2}}{16} = 0 \Rightarrow \frac{(x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2})}{25} + \frac{(y_{1} + y_{2}) (y_{1} - y_{2})}{16} = 0$

$\Rightarrow \frac{4 (x_{1} - x_{2})}{25} + \frac{2 (y_{1} - y_{2})}{16} = 0$

$\Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2}}{25} + \frac{y_{1} - y_{2}}{32} = 0 \Rightarrow \frac{x_{1} - x_{2}}{25} = \frac{y_{1} - y_{2}}{- 32} .$

Mà $\vec{B A}$ có toạ độ là (x₁ – x₂; y₁ – y₂) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

$\Rightarrow$ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.

Bài 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.

a) Viết phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 1 km trên thực tế, lấy bán kính Trái Đất là 6371 km ).

b) Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng ngày, tàu vũ trụ càng cách xa Trái Đất.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y² = 2px (p > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)

$\Rightarrow \frac{p}{2} = 6519 \Rightarrow p = 13038$

$\Rightarrow$ phương trình chính tắc của parabol quỹ đạo là y² = 26076x.

b) Giả sử tàu vụ trụ có toạ độ M(x; y).

Khi đó, theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF = x + $\frac{p}{2}$

Đây cũng là khoảng cách từ tàu vũ trụ đến tâm Trái Đất.

Kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, hoành độ x của tàu vũ trụ sẽ ngày càng tăng, do đó tàu ngày càng xa Trái Đất hơn.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

1 2,953 05/11/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3