Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta }{4a}\right)$ và đường chuẩn là $\Delta :y=-\frac{1+\Delta }{4a}$, trong đó Δ = b² – 4ac.

Lời giải:

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c đều có toạ độ (x; ax² + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\iff \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}$$=\left|a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$$\begin{gathered} \iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2= \\ {\left(a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2 \end{gathered}$$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$$+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2$$={\left[\frac{{\displaystyle 4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+\Delta \right)}}{{\displaystyle 4a}}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+$${\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2$$={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2-1}{4a}\right)}^2$$={\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2+1}{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2-1}{4a}\right]}^2$$={\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2+1}{4a}\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[{\left(2ax+b\right)}^2-1\right]}^2$$={\left[{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+$$\left[{\left(2ax+b\right)}^4-2{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]$$={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1$

$\iff {\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1$$={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ)

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng...

Bài 3.22 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình đường conic có tâm sai $e=\frac{1}{\sqrt{2}}$, một tiêu điểm F(–1; 0)...

Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho hai parabol có phương trình y² = 2px và y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol...

Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Viết phương trình đường thẳng...

Bài 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27)...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic