Cho hai parabol có phương trình y^2 = 2px và y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10:

Cho hai parabol có phương trình y² = 2px và y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x$$-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0$.

Lời giải:

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax² + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax² + bx + c có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow b^2-4ac>0.$

Xét phương trình đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-$$\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

có ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}$$={\left(\frac{b}{2a}-p\right)}^2+{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

$$\begin{gathered} =\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ =\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2} \\ =\frac{b^2-4ac}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2} \end{gathered}$$

Vì b < 0 và $b^2-4ac>0$ (chứng minh trên) nên $-\frac{b}{a}.p$> 0 và $\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0$

Do đó ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}>0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y² = 2px và y = ax² + bx + c $\Rightarrow$ y² – 2px = 0 và ax² + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y² – 2px = 0 và $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}=0$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng...

Bài 3.22 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình đường conic có tâm sai $e=\frac{1}{\sqrt{2}}$, một tiêu điểm F(–1; 0)...

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm...

Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Viết phương trình đường thẳng...

Bài 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27)...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic