Biết rằng (2 + x)^100 = a0 + a1x + a2x^2 + ... + a100x^100

Lời giải Bài 2.18 trang 37 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 605 06/11/2022

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 4: Nhị thức newton

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

$C_{100}^{100 - k} x^{k} 2^{100 - k} = C_{100}^{k} 2^{100 - k} x^{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} x^{k} .$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là $2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \Rightarrow a_{k} = 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} .$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

$(1) \Leftrightarrow 2^{100} \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq 2^{100} \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{2^{k}} \leq \frac{C_{100}^{k + 1}}{2^{k + 1}} \Leftrightarrow \frac{C_{100}^{k}}{C_{100}^{k + 1}} \leq \frac{2^{k}}{2^{k + 1}}$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{100!}{k! (100 - k)!}}{\frac{100!}{(k + 1)! (100 - k - 1)!}} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{(k + 1)! (100 - k - 1)!}{k! (100 - k)!} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{k + 1}{100 - k} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 (k + 1) \leq 100 - k \Leftrightarrow 3 k \leq 98 \Leftrightarrow k \leq 32$ (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1} $\Leftrightarrow k \leq 32$ nên a_k ≥ a_{k + 1} $\Leftrightarrow k \geq 32.$

Do đó $a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{32} \leq a_{33}$ $\geq a_{34} \geq a_{35} \geq ... \geq a_{100} .$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n {1; 2; 3; 4; 5}...

HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal. Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n...

Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷...

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_{n}^{k}$ . a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu...

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức...

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶...

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰...

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử) a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ...

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a) (x – 1)⁵...

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton: a) (x + y)⁶...

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰...

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n...

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được...

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰...

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây: Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho: Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol

1 605 06/11/2022

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: