Biết rằng (2 + x)^100 = a0 + a1x + a2x^2 + ... + a100x^100

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 4: Nhị thức newton

Bài 2.18 trang 37 Chuyên đề Toán 10:  

Biết rằng (2 + x)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì a_k Iớn nhất?

Lời giải:

+) Ta có:

Số hạng chứa x^k trong khai triển của (2 + x)¹⁰⁰ hay (x +2)¹⁰⁰ là

 $$\begin{gathered} C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k} \\ =C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k. \end{gathered}$$

Vậy hệ số của x^k trong khai triển của (x + 2)¹⁰⁰ là $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: a_k ≤ a_{k + 1} (1).

$$\begin{gathered} \left(1\right)\iff 2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}} \\ \iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}} \\ \iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2} \\ \iff \frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2} \\ \iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(k+1\right)\le 100-k \\ \iff 3k\le 98\iff k\le 32 \end{gathered}$$ (vì k là số tự nhiên).

+) Vì a_k ≤ a_{k + 1}$\iff k\le 32$ nên a_k ≥ a_{k + 1} $\iff k\ge 32.$

Do đó $a_1\le a_2\le \mathrm{...}\le a_{32}\le a_{33}$$\ge a_{34}\ge a_{35}\ge \mathrm{...}\ge a_{100}.$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a₃₃ là giá trị lớn nhất trong các a_k.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (a + b)ⁿ, n  {1; 2; 3; 4; 5}...

HĐ2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Tam giác Pascal. Viết các hệ số của khai triển (a + b)ⁿ với một số giá trị đầu tiên của n...

Luyện tập 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷...

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_n^k$. a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu...

HĐ4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)ⁿ với n  {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức...

Luyện tập 2 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Khai triển (x – 2y)⁶...

Luyện tập 3 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁷ trong khai triền thành đa thức của (2 – 3x)¹⁰...

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử) a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ...

Bài 2.9 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a) (x – 1)⁵...

Bài 2.10 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Viết khai triển theo nhị thức Newton: a) (x + y)⁶...

Bài 2.11 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển của (2x + 3)¹⁰...

Bài 2.12 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n...

Bài 2.13 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Từ khai triển biểu thức (3x – 5)⁴ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được...

Bài 2.14 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thành đa thức của biểu thức x(1 – 2x)⁵ + x²(1 + 3x)¹⁰...

Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính tổng sau đây: Bài 2.15 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Bài 2.16 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm số nguyên dương n sao cho: Bài 2.17 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 6: Hypebol

Bài 7: Parabol