Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song

Video Giải Bài tập 1 trang 59 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 1 trang 59 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì:

a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy;

b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có:

P là trung điểm AB (giả thuyết)

Q là trung điểm BC (giả thuyết)

Nên PQ là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra PQ // AC

Chứng minh tương tự ta cũng có: SR // AC

Do vậy PQ // SR hay P, Q, R, S đồng phẳng.

a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}PQ=\left(ABC\right)\cap \left(\alpha \right)\\ RS=\left(\alpha \right)\cap \left(ACD\right)\\ AC=\left(ACD\right)\cap \left(ABC\right)\end{array}\right.$

Theo định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng, ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

b) Gọi (α) là mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}PS=\left(ABD\right)\cap \left(\alpha \right)\\ RQ=\left(\alpha \right)\cap \left(BCD\right)\\ BD=\left(ABD\right)\cap \left(BCD\right)\end{array}\right.$

Theo định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng, ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không thể cùng thuộc một mặt phẳng...

Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này...

Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của (α) và (β)...

Bài tập 2 trang 59 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây...

Bài tập 3 trang 60 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)...