Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Video Giải Bài tập 3 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp  ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Lời giải:

a) Ta có: BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên:

$\left\{\begin{array}{l}BD\parallel B\text{'}D\text{'}\\ A\text{'}D\parallel B\text{'}C\end{array}\right.$

Suy ra, hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C)

b) Gọi O, O’, I lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ACC’A’.

Xét tam giác A’BD có G₁ là trọng tâm tam giác.

Vì O là trung điểm của AC nên A’O là trung tuyến suy ra: $\frac{A\text{'}{G}_1}{A\text{'}O}=\frac{2}{3}$

Xét tam giác AA’C có: I là trung điểm của A’C nên AI là tiếp tuyến.

Do vậy, G₁ thuộc AI và $\frac{A{G}_1}{AI}=\frac{2}{3}$

Chứng minh tương tự ta cũng có: G₂ thuộc C’I.

Vậy G₁, G₂ thuộc AC’ và $\frac{C{G}_2}{C\text{'}I}=\frac{2}{3}$

c) Theo câu trên, ta có:

$\frac{A{G}_1}{G_{1}I}=\frac{C\text{'}{G}_2}{G_{2}I}=\frac{2}{1}$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}A{G}_1=\frac{2}{3}AI=\frac{1}{3}AC\text{'}\\ C{G}_2=\frac{2}{3}C\text{'}I=\frac{1}{3}C\text{'}A\end{array}\right.$

AG₁ = G₁G₂ = G₂C’

d) Ta có: $\left(A\text{'}IO\right)\equiv \left(AA\text{'}C\text{'}C\right)$

Nên (A’IO) cắt hình hộp theo thiết diện là AA’C’C.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 64 SGK Toán lớp 11 Hình học: Hỏi d và (β) có điểm chung không...

Hoạt động 2 trang 65 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC)...

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán lớp 11 Hình học: Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng...

Bài tập 1 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành...

Bài tập 2 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chứng minh rằng AM song song với A’M’...

Bài tập 4 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD...