Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau

Với giải Bài tập 3 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

1 1,267 01/01/2025

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Video Giải Bài tập 3 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 3 trang 71 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

*Lời giải:

a) Ta có: BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên:

$\{\begin{cases} B D ∥ B' D' \\ A' D ∥ B' C \end{cases}$

Suy ra, hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song từng đôi một nên chúng song song.

Vậy (BDA’) // (B’D’C)

b) Gọi O, O’, I lần lượt là tâm của hai hình bình hành ABCD, A’B’C’D’, ACC’A’.

Xét tam giác A’BD có G₁ là trọng tâm tam giác.

Vì O là trung điểm của AC nên A’O là trung tuyến suy ra: $\frac{A' G_{1}}{A' O} = \frac{2}{3}$

Xét tam giác AA’C có: I là trung điểm của A’C nên AI là tiếp tuyến.

Do vậy, G₁ thuộc AI và $\frac{A G_{1}}{A I} = \frac{2}{3}$

Chứng minh tương tự ta cũng có: G₂ thuộc C’I.

Vậy G₁, G₂ thuộc AC’ và $\frac{C G_{2}}{C' I} = \frac{2}{3}$

c) Theo câu trên, ta có:

$\frac{A G_{1}}{G_{1} I} = \frac{C' G_{2}}{G_{2} I} = \frac{2}{1}$

Suy ra $\{\begin{cases} A G_{1} = \frac{2}{3} A I = \frac{1}{3} A C' \\ C G_{2} = \frac{2}{3} C' I = \frac{1}{3} C' A \end{cases}$

AG₁ = G₁G₂ = G₂C’

d) Ta có: $(A' I O) \equiv (A A' C' C)$

Nên (A’IO) cắt hình hộp theo thiết diện là AA’C’C.

*Phương pháp giải

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện một trong hai cách sau:

- Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Tức là: $\{\begin{cases} a \subset (α), b \subset (α) \\ a \cap b = \{I\} \\ a / / (β) \\ b / / (β) \end{cases}$

$\Rightarrow (α) / / (β)$

- Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba

$\{\begin{cases} (α) / / (γ) \\ (β) / / (γ) \end{cases} \Rightarrow (α) / / (β)$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hai mặt phẳng song song:

Định nghĩa hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung $(P) / / (Q) \Leftrightarrow (P) \cap (Q) = \emptyset$