Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 4 trang 58 SBT Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và lần lượt cắt BC tại E và F. Hãy chứng minh:

a) $∆$EOA = $∆$EOB; $∆$FOA = $∆$FOC.

b) Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc EAF.

Lời giải

a) Vì O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Vì E nằm trên trung trực của AB nên ta có EA = EB.

Vì F nằm trên trung trực của AC nên ta có: FA = FC.

• Xét tam giác OEA và tam giác OEB có:

AE = BE (chứng minh trên),

OA = OB (chứng minh trên),

OE là cạnh chung.

Do đó $∆$EOA = $∆$DEB (c.c.c).

• Xét tam giác OFA và tam giác OFC có:

AF = CF (chứng minh trên),

OA = OC (chứng minh trên),

OF là cạnh chung.

Do đó $∆$FOA = $∆$FOC (c.c.c).

Vậy $∆$EOA = $∆$EOB; $∆$FOA = $∆$FOC.

b) Ta có OB = OC nên tam giác OBC cân tại O.

Suy ra $\widehat{OBE}=\widehat{OCF}$         (1)

Ta có $∆$OEA = $∆$OEB (câu a)

Suy ra $\widehat{OA\text{E}}=\widehat{OBE}$ (hai góc tương ứng) (2)

Tương tự từ $∆$OFA = $∆$OFC (câu a)

Suy ra $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat{OAE}=\widehat{OAF}$ 

Suy ra AO là tia phân giác của góc EAF.

Vậy AO là tia phân giác của góc EAF.